العمليات على المصفوفات

يقوم درس العمليات على المصفوفات على تنفيذ عمليتي الجمع والطرح بجمع أو طرح العناصر المتناظرة شرط تساوي الرتبة، إضافة إلى ضرب المصفوفة في عدد ثابت بضرب كل عنصر من عناصرها في ذلك الثابت. انظر إلى المصفوفة ذات الرتبة $m \times n$ عندما تجمعها مع مصفوفة أخرى، فالقاعدة تقول: إذا كانت $A$ و$B$ مصفوفتين من الرتبة نفسها، فإن $A + B$ تنتج عن جمع كل عنصر مع نظيره، وكذا الحال في الطرح. أما الضرب في عدد ثابت $k$ فيعني أن $kA$ تنتج بضرب كل عنصر في $k$. مثال سريع: لو كان لديك المصفوفة المكونة من العنصرين $4$ و$-2$ ومضروبة في العدد $5$ هكذا $5 \begin{bmatrix} 4 & -2 \end{bmatrix}$ فالناتج يكون بضرب الخمسة في كل عنصر لتصبح $\begin{bmatrix} 20 & -10 \end{bmatrix}$.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة العمليات على المصفوفات حول تنفيذ الحسابات الرياضية الأساسية عليها تماما كما تجريها على الأعداد الحقيقية، بشرط مراعاة رتب المصفوفات. يمكنك جمع مصفوفتين أو طرحهما فقط إذا كان لهما الرتبة نفسها، حيث تتعامل مع العناصر التي تقع في نفس المكان تماماً. كما يمكنك تكبير أو تصغير جميع عناصر المصفوفة دفعة واحدة عبر ضربها في عدد ثابت.

الشرح

حتى تفهم جمع مصفوفتين، تخيل أنك تضع مصفوفتين فوق بعضهما وتجمع كل رقم مع الرقم الذي يقع تحته مباشرة. إذا كانت المصفوفتان $A$ و$B$ من الرتبة $m \times n$ فإن مجمعهما $A + B$ هو مصفوفة من نفس الرتبة $m \times n$ ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظير في $A$ و$B$. وبالمثل في الطرح، فإن $A - B$ تنتج بطرح العناصر المتناظرة. أما إذا اختلفت الرتبتان فلا يمكنك إجراء الجمع أو الطرح أبداً. أما في عملية ضرب مصفوفة في عدد ثابت $k$ والذي يسمى بالضرب في عدد ثابت، فإن ناتج ضرب المصفوفة $A$ في العدد الثابت $k$ هي مصفوفة $kA$ من نفس الرتبة، وكل عنصر فيها يساوي العنصر المناظر له في المصفوفة $A$ مضروباً في الثابت $k$. تنطبق على المصفوفات خصائص مثل الخاصية الإبدالية $A + B = B + A$ والخاصية التجميعية $(A + B) + C = A + (B + C)$ وخاصية التوزيع للضرب في عدد $k(A + B) = kA + kB$.

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا كانت المصفوفة $A = \begin{bmatrix} 16 & 2 \\ -9 & 8 \end{bmatrix}$ والمصفوفة $B = \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ -3 & -7 \end{bmatrix}$ فأوجد $A + B$. الخطوة الأولى: عوض بالمصفوفتين في العبارة لتصبح المسألة بالشكل $\begin{bmatrix} 16 & 2 \\ -9 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ -3 & -7 \end{bmatrix}$. الخطوة الثانية: اجمع العناصر المتناظرة لتكتبها هكذا $\begin{bmatrix} 16 + (-4) & 2 + (-1) \\ -9 + (-3) & 8 + (-7) \end{bmatrix}$. الخطوة الثالثة: بسط النواتج بالحساب لتصل إلى المصفوفة النهائية $\begin{bmatrix} 12 & 1 \\ -12 & 1 \end{bmatrix}$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع محاولة جمع أو طرح مصفوفتين مختلفتين في الرتبة، مثل محاولة جمع مصفوفة من رتبة $2 \times 2$ مع مصفوفة من رتبة $2 \times 3$، والصحيح هو كتابة عبارة لا يمكن لعدم تساوي الرتب. ومن الأخطاء أيضاً عند ضرب مصفوفة في عدد ثابت أن يتم ضرب بعض العناصر ونسيان بقية العناصر، والصحيح هو ضرب الثابت في كل عنصر داخل المصفوفة دون استثناء.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد ناتج الجمع الآتي: $\begin{bmatrix} -8 & 2 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 11 & -7 & 1 \end{bmatrix}$. الإجابة هي جمع العناصر المتناظرة: $\begin{bmatrix} -8+11 & 2+(-7) & 6+1 сигнала \end{bmatrix}$ لتصبح الإجابة النهائية $\begin{bmatrix} 3 & -5 & 7 \end{bmatrix}$. السؤال الثاني: إذا كانت المصفوفة $R = \begin{bmatrix} -12 & 8 & 6 \\ -16 & 4 & 19 \end{bmatrix}$ فأوجد $5R$. الإجابة هي ضرب كل عنصر في العدد $5$ لتصبح المصفوفة النهائية بعد التبسيط $\begin{bmatrix} -60 & 40 & 30 \\ -80 & 20 & 95 \end{bmatrix}$.