حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيا

يقوم حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيا على إيجاد الأزواج المرتبة التي تحقق جميع المتباينات في النظام معا. لفعل ذلك، مثل كل متباينة في المستوى الإحداثي على حدة، ثم حدد منطقة التظليل المشتركة بينها والتي تمثل حل النظام. إذا كانت المتباينات تتضمن إشارات مثل $\ge$ أو $\le$ نرسم الخط متصلاً، أما مع إشارات $<$ أو $>$ فنرسمه متقطعاً. على سبيل المثال، لحل النظام $y > 2x - 4$ و $y \le -0.5x + 3$، نرسم مستقيم كل متباينة ونظلل منطقتها، فتكون منطقة الحل المشتركة هي التقاطع بينهما. أحياناً لا تتقاطع مناطق الحلول، فتكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية. كما يمكن إيجاد إحداثيات رؤوس منطقة الحل المغلّفة الناتجة عن تبايناتها بإيجاد تقاطع المستقيمات الحدودية.

الفكرة الأساسية

حل نظام المتباينات الخطية يعني إيجاد جميع الأزواج المرتبة التي تحقق كل المتباينات الموجودة في النظام في الوقت ذاته. الفكرة تقوم على تمثيل كل متباينة بيانيا على المستوى الإحداثي، ثم البحث عن منطقة التظليل المشتركة التي تتداخل فيها حلول جميع متباينات النظام.

الشرح

لكي تحل أي نظام مكون من متباينة خطية أو أكثر، اتبع الخطوات الآتية بدقة. أولاً، خذ المتباينة الأولى ورسم حدها الفاصل على المستوى الإحداثي. تذكر أن إشارتي $<$ و $>$ تعنيان أن الخط الفاصل يجب أن يكون متقطعا لأن الحدود لا تنتمي إلى الحل، بينما إشارتي $\le$ و $\ge$ تعنيان أن الخط الفاصل متصل لأن الحدود تنتمي إلى الحل. ثانياً، اختر نقطة اختبار وليست واقعة على الخط الفاصل، وعادة ما نختار النقطة $(0, 0)$ لتسهيل الحسابات، ثم عوض بإحداثياتها في المتباينة. إذا كانت العبارة صحيحة، ظلل الجهة التي تحتوي على نقطة الاختبار، وإذا كانت خاطئة ظلل الجهة الأخرى. ررر هذه الخطوات لكل متباينة في النظام على حدة وفي نفس المستوى الإحداثي. ثالثاً، المنطقة التي يتكرر فيها التظليل لكل المتباينات هي منطقة الحل المشتركة للنظام. إن لم تتداخل مناطق الحلول أبداً، فلا يوجد حل للنظام وتكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية ويرمز لها بالرمز $\phi$ أو $\{\}$.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل النظام الآتي بيانيا: $y > 2x - 4$ $y \le -0.5x + 3$ الخطوة 1: مثل المتباينة الأولى $y > 2x - 4$ بيانيا. ارسم الخط المستقيم الحدودى بصورة متقطعة لأن الإشارة أكبر من فقط، ثم اختبر النقطة $(0, 0)$ لنجد أن $0 > -4$ وهي عبارة صحيحة، فنظلل المنطقة التي تحتوي على نقطة الأصل. الخطوة 2: مثل المتباينة الثانية $y \le -0.5x + 3$ بيانيا. ارسم الخط المستقيم بصورة متصلة لأن الإشارة أصغر من أو يساوي، ثم اختبر النقطة $(0, 0)$ لنجد أن $0 \le 3$ وهي عبارة صحيحة، فنظلل المنطقة التي تحتوي على نقطة الأصل. الخطوة 3: ابحث عن المنطقة المشتركة بين التظليلين. المنطقة الناتجة من تقاطع التظليلبن هي التي تمثل حل النظام.

أخطاء شائعة

رسم الخط الفاصل متصلا عندما تكون المتباينة تحتوي على إشارة أكبر من أو أصغر منStrict بدون مساواة، والصحيح هو رسمه متقطعا. خلط جهة التظليل الصحيحة بعد تعويض نقطة الاختبار وعدم التأكد من صحة المتباينة الناتجة. نسيان أن نقطة الاختبار لا يجب أن تقع أبداً على الخط المستقيم المرسوم.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل النظام الآتي بيانيا: $y \le -2x + 5$ $y > -\frac{1}{4}x - 6$ الإجابة: تمثيل المتباينة الأولى بخط متصل وتظليل المنطقة أسفله، وتمثيل المتباينة الثانية بخط متقطع وتظليل المنطقة أعلاه، ومنطقة الحل هي التقاطع المشترك بينهما. السؤال الثاني: أوجد إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني للنظام الآتي: $y \ge -3x - 6$ $2y \ge x - 16$ $11y + 7x \le 12$ الإجابة: بإيجاد نقاط تقاطع المستقيمات الحدودية معاً بحل المعادلات الناتجة، تنتج رؤوس المثلث وهي النقاط التي تحصر منطقة الحل المغلقة.