تمثيل المتباينات الخطية ومتباينات القيمة المطلقة بيانيا

يقوم هذا الدرس على تمثيل المتباينات الخطية ومتباينات القيمة المطلقة في المستوى الإحداثي بدلاً من تمثيل المعادلات. الفرق الجوهري هو أن حل المتباينة ليس خطاً منفرداً، بل منطقة كاملة مظللة تمثل جميع الأزواج المرتبة التي تحقق المتباينة. ترسم الحد أولاً؛ فإن كان رمز المتباينة يحتوي على مسواة مثل $\leq$ أو $\geq$ يكون الخط متصلاً، وإن كان بدون مسواة مثل $>$ أو $<$ يكون الخط متقطعاً. بعد ذلك تختبر نقطة اختبار سهلة مثل $(0, 0)$؛ فإن حققت المتباينة تظلل الجهة التي تحتويها، وإلا تظلل الجهة الأخرى. مثال ذلك تمثيل المتباينة $y > -3x - 2$؛ حيث ترسم المستقيم $y = -3x - 2$ بخط متقطع لعدم وجود المساواة، ثم تختبر النقطة $(0, 0)$ لتجد أنها تحقق المتباينة، فتظلل المنطقة الواقعة فوق المستقيم والتي تحتوي هذه النقطة.

الفكرة الأساسية

الفرق بين تمثيل المعادلة الخطية وتمثيل المتباينة الخطية هو أن المعادلة ترسم خطاً يمثل الحلول الدقيقة فقط، بينما المتباينة ترسم حدوداً لهذا الخط وتطلب منك تظليل منطقة كاملة تسمى منطقة الحل. كل نقطة داخل هذه المنطقة المظللة تحقق المتباينة الأصلية.

الشرح

لكي تمثل متباينة خطية بيانيا، اتبع الخطوات التالية. أولاً، ضع علامة المساواة مؤقتاً وارسم الحد المرتبط بالمتباينة؛ فانظر إلى رمز المتباينة: إذا كان يحتوي على مساواة مثل $\leq$ أو $\geq$ ارسم الحد بخط متصل لأن النقاط الواقعة عليه تدخل ضمن الحل، أما إذا كان الرمز $<$ أو $>$ فارسم الحد بخط متتقع لأن النقاط الواقعة عليه لا تحقق المتباينة. ثانياً، اختر نقطة اختبار لا تقع على الحد نفسه، وأفضل نقطة اختبار هي $(0, 0)$ إن لم يمر الحد بها. عوض بإحداثيات النقطة في المتباينة الأصلية؛ فإن كانت العبارة الناتجة صحيحة، فظلل المنطقة التي تحتوي نقطة الاختبار، وإن كانت خاطئة، فظلل المنطقة الأخرى التي لا تحتويها. بالنسبة لمتباينات القيمة المطلقة، فالطريقة مشابهة تماماً؛ ترسم معادلة القيمة المطلقة كحد للمتباينة، وتحدد إذا كان خطها متصلاً أو متقطعاً، ثم تختبر نقطة لاختيار منطقة التظليل الصحيحة.

مثال محلول خطوة بخطوة

مثل المتباينة $x + 4y > 2$ بيانيا. الخطوة 1: مثل الحد وهو المستقيم $x + 4y = 2$. بما أن رمز المتباينة هو $>$ ولا يحتوي على مساواة، فإن الحد سيكون مرسوماً بخط متقطع. الخطوة 2: اختر نقطة اختبار لا تقع على حد المستقيم، وليكن اختيارنا هو النقطة $(0, 0)$. عوض بهذه القيم في المتباينة الأصلية: المتباينة الأصلية: $x + 4y > 2$ التعويض بالقيم $(x, y) = (0, 0)$: $0 + 4(0) > 2$ $0 > 2$ هذه العبارة خاطئة، لأن الصفر ليس أكبر من العدد اثنان. الخطوة 3: بما أن نقطة الاختبار لم تحقق المتباينة، ظلل المنطقة التي لا تحتوي على النقطة $(0, 0)$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع رسم الحد بخط متصل عندما تكون المتباينة تحتوي على رمزي الأكبر تماماً $>$ أو الأصغر تماماً $<$. تذكر دائماً أن علامات التباين الصارمة تقتضي خطا متقطعاً لأن النقاط التي على الخط ليس لها نصيب من الحل. ومن الأخطاء أيضاً اختيار نقطة اختبار تقع حصراً على خط الحد المرسوم، مما يعطي نتيجة صفرية غير مفيدة، ولتجنب ذلك تجنب النقطة $(0, 0)$ إن كان الخط يمر بنقطة الأصل.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الاول: مثل المتباينة $y \leq 4$ بيانيا. الإجابة: ارسم خط الحد الأفقي $y = 4$ بخط متصل لأن الرمز يحتوي على مساواة، ثم عوض بالنقطة $(0, 0)$ فتجد أن $0 \leq 4$ عبارة صحيحة، وبناء عليه ظلل المنطقة التي تقع أسفل الخط الأفقي $y = 4$. السؤال الثاني: ما نوع الخط المرسوم لحد المتباينة $3x + y > -8$؟ الإجابة: نوع الخط هو خط متقطع، والسبب يعود إلى أن رمز المتباينة هو أكبر تماماً ولا يتضمن إشارة المساواة.