البرمجة الخطية والحل الأمثل

تقوم الفكرة على إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ضمن شروط معينة تسمى القيود، وتُمثل هذه القيود بنظام متباينات خطية نرسمه بيانياً لنحصل على منطقة الحل. أهم ما في الدرس أن القيمة العظمى أو الصغرى تقع دائماً عند أحد رؤوس منطقة الحل. فمثلاً، لتحديد عدد الأثواب المنتجة من مقاسين بهدف تقليل التكلفة، نكتب المتباينات ونمثلها، ثم نحدد رؤوس منطقة الحل ونعوض إحداثيات كل رأس في دالة التكلفة لنعرف أيها يعطي أقل تكلفة.

الفكرة الأساسية

البرمجة الخطية طريقة لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ما تحت قيود معينة تُعبّر عنها متباينات خطية. هذه المجمعات من الشروط تحصر الحل في منطقة تسمى منطقة الحل، وتحدث القيمة العظمى أو الصغرى دائماً عند رؤوس هذه المنطقة.

الشرح

نبدأ أولاً بترجمة المسألة الحياتية إلى متغيرات مثل س و ص، ثم نكتب نظام متباينات خطية يمثل القيود المفروضة مثل طاقة المصنع أو الحد الأدنى للإنتاج. بعد ذلك نمثل نظام المتباينات بيانياً على المستوى الإحداحي لنحصل على منطقة الحل المحدودة أو غير المحدودة. نحدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل الناتجة من تقاطع المستقيمات. نكتب دالة الهدف التي تود إيجاد قيمتها العظمى أو الصغرى وليكن رمزها $f(x, y)$. أخيراً، نعوض بإحداثيات كل رأس من رؤوس منطقة الحل في هذه الدالة، ونقارن النواتج لنختار القيمة العظمى أو الصغرى المطلوبة.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد القيمة العظمى والصغرى للدالة $f(x, y) = 4x - 2y$ ضمن نظام المتباينات الآتي: $3 ≤ y ≤ 6$ $y ≤ 3x + 12$ $y ≥ -2x + 6$

الخطوة 1: مثل المتباينات بيانياً وحدد إحداثيات الرؤوس لمنطقة الحل المغلقة. الخطوة 2: استخرج رؤوس منطقة الحل الناتجة وليكن النقاط $(-3, 3)$ و $(1.5, 3)$ و $(0, 6)$ و $(-2, 6)$. الخطوة 3: عوض بكل رأس في دالة الهدف $f(x, y) = 4x - 2y$:

• للنقطة $(-3, 3)$: $4(-3) - 2(3) = -18$
• للنقطة $(1.5, 3)$: $4(1.5) - 2(3) = 0$
• للنقطة $(0, 6)$: $4(0) - 2(6) = -12$
• للنقطة $(-2, 6)$: $4(-2) - 2(6) = -20$ الخطوة 4: قارن النواتج، فتكون القيمة العظمى تساوي 0 عند النقطة $(1.5, 3)$، والقيمة الصغرى تساوي -20 عند النقطة $(-2, 6)$.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن القيمة العظمى أو الصغرى تقع في داخل منطقة الحل بدلاً من رؤوسها.
• الخطأ في تمثيل المتباينات بيانياً أو عدم تحديد منطقة التقاطع بدقة.
• نسيان إضافة قيود عدم السلبية مثل $x ≥ 0$ و $y ≥ 0$ في المسائل الحياتية التي تعبر عن أعداد.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد القيمة العظمى والصغرى للدالة $f(x, y) = -5x + 2y$ معطى بنظام المتباينات: $-2 ≤ x ≤ 6$ $1 ≤ y ≥ 5$ $y ≤ x + 3$ الإجابة: بعد رسم المتباينات وتحديد الرؤوس والتعويض في الدالة، تظهر القيمة العظمى والصغرى عند الرؤوس الناتجة بحسب الإحداثيات المحددة.

السؤال الثاني: اكتب نظام المتباينات الذي يمثل قيود مصنع ينتج نوعين من الأجهزة إذا كان مجموع ساعات العمل لا يزيد على 200 ساعة. الإجابة: إذا كان عدد أجهزة النوع الأول $x$ وعدد أجهزة النوع الثاني $y$، فإن القيد يكتب على صورة متباينة خطية تناسب ساعات العمل المتاحة لكل جهاز.