دوال خاصة

يقوم درس دوال خاصة على دراسة أنواع من الدوال تتغير قاعدتها بحسب قيمة المتغير x. نبدأ بالدالة المتعددة التعريف التي تكتب باستعمال عبارتين أو أكثر لكل فترة من المجال، حيث نمثل كل جزء بيانياً ونحدد نقاط الطرف بدائرة مظللة إذا كانت المتباينة تحوي علامة المساواة أو دائرة غير مظللة إن لم تحويها. ثم نتعرف على الدالة الدرجية التي تتكون من قطع مستقيمة أفقية تشبه الدرج وتعتمد على دالة أكبر عدد صحيح ويرمز لها بـ $[x]$. وأخيراً دالة القيمة المطلقة التي تحوي عبارة جبرية داخل رمز القيمة المطلقة وتمثل بيانياً على شكل حرف V. لنأخذ مثالاً على دالة القيمة المطلقة $f(x) = |2x| - 4$؛ نجعل ما بداخل القيمة المطلقة يساوي الصفر لنقاط الرأس، ونكون جدولاً للقيم ثم نصل بين النقاط ليكون المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق $f(x) \geq -4$.

الفكرة الأساسية

ندرس اليوم الدوال الخاصة التي تختلف عن الدوال العادية في طريقة تعريفها وتمثيلها. تنقسم هذه الدوال إلى الدالة المتعددة التعريف التي تتغير قاعدتها بحسب الفترة، والدالة الدرجية التي تتكون من قطع أفقية تشبه الدرج وتعتمد على أكبر عدد صحيح، ودالة القيمة المطلقة التي تأخذ شكل حرف V في تمثيلها البياني.

الشرح

نبدأ بالدالة المتعددة التعريف؛ وهي دالة تُكتب باستعمال عبارتين أو أكثر، وكل عبارة معرفة على فترة محددة من المجال. عند تمثيلها بيانياً لكل فترة، ننظر إلى علامة المتباينة؛ فإذا كانت تحوي علامة المساواة مثل $\leq$ أو $\geq$ نضع دائرة مظللة عند طرف الفترة، وإذا كانت المتباينة لا تحوي مسساواة مثل $<$ أو $>$ نضع دائرة غير مظللة لتشير إلى أن النقطة لا تنتمي إلى التمثيل البياني لهذا الجزء.

النوع الثاني هو الدالة الدرجية، وأشهرها دالة أكبر عدد صحيح والتي يُرمز لها بالرمز $[x]$، وهي دالة تعطي أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي $x$. تمثيلها البياني يتكون من قطع مستقيمة أفقية، مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية ومداها هو مجموعة الأعداد الصحيحة.

النوع الثالث هو دالة القيمة المطلقة، ويُعبّر عنها بالرمز $f(x) = |x|$. قاعدتها متفرعة إلى جزأين؛ قيمة موجبة عندما $x > 0$ وقيمة سالبة عندما $x < 0$ وصفر عندما $x = 0$. تمثيلها البياني يشبه حرف V، ومجالها دائماً هو مجموعة الأعداد الحقيقية، بينما مداها يعتمد على الإزاحة الرأسية ويمثل مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة في داليتها الأم.

مثال محلول خطوة بخطوة

لنمثل دالة القيمة المطلقة $f(x) = |2x| - 4$ بيانياً ونحدد مجالها ومداها: الخطوة ١: نجعل ما بداخل القيمة المطلقة يساوي الصفر، أي $2x = 0$ إذن $x = 0$. الخطوة ٢: نكون جدولاً لقيم $x$ بحيث نحسب قيم أكبر من الصفر وقيم أصغر من الصفر. عند $x = -2$ تكون القيمة $0$، وعند $x = -1$ تكون $-2$، وعند $x = 0$ تكون $-4$، وعند $x = 1$ تكون $-2$، وعند $x = 2$ تكون $0$. الخطوة ٣: نمثل الأزواج المرتبطة في المستوى الإحداحي $(-2, 0)$، $(-1, -2)$، $(0, -4)$، $(1, -2)$، $(2, 0)$. الخطوة ٤: نصل بين النقاط لنحصل على شكل حرف V. المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تحقق المتباينة $\, f(x) \geq -4$.

أخطاء شائعة

من الأخطاء المتكررة عند تمثيل الدالة المتعددة التعريف رسم الدوائر المظللة وغير المظللة بشكل عشوائي دون الانتباه لوجود علامة المساواة في المتباينة من عدمها. خطأ آخر يحدث عند حساب دالة أكبر عدد صحيح مثل $[-4.6]$ حيث يخطئ البعض باعتبارها تقريباً عادياً إلى $-5$ بينما التعريف الدقيق هو أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي العدد وهو هنا $-5$ صحيح، ولكن الحذر واجب عند التعامل مع الأعداد السالبة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: مثل الدالة المتعددة التعريف بيانيا وحدد مجالها ومداها: $f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases}$ الإجابة: المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية، ويمثل بيانياً بخطين مستقيمين يلتقيان عند النقطة ذات الإحداثي $x = 0$ مع دائرة غير مظللة عند اليسار ومظللة عند اليمين.

السؤال الثاني: أوجد قيمة $[3.25]$ مستخدماً تعريف دالة أكبر عدد صحيح. الإجابة: القيمة هي $3$ لأن $3$ هو أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي $3.25$.