العلاقات والدوال

يقوم هذا الدرس على ربط المدخلات بالمخرجات عبر مفهوم العلاقة والدوال. فالدالة هي علاقة يرتبط فيها كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط من المدى. ونتعلم كيف نميز الدالة عن العلاقة العادية باستخدام اختبار الخط الرأسي، بحيث لا يقطع التمثيل البياني للدالة أكثر من نقطة واحدة على أي خط رأسي. كما نفرق بين العلاقات المنفصلة التي تتكون من نقاط مفردة، والعلاقات المتصلة التي يمكن رسمها دون رفع القلم. إضافة إلى ذلك، نتعرف على رمز الدالة $f(x)$ وكيفية إيجاد قيمة الدالة عند تعويض أي متغير عددي أو جبري. فلو كانت لدينا المعادلة $f(x) = 2x^2 - 8$ وأردنا إيجاد $f(6)$، فإننا نعوض عن كل $x$ بالعدد 6 لنحصل على 64 مباشرة.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول كيفية ربط المدخلات بالمخرجات رياضياً. الدالة ليست مجرد جدول أو معادلة، بل هي قاعدة ارتباط دقيقة تضمن أن كل عنصر في المجال يرتبط بعنصر واحد فقط من المدى. نتعلم هنا كيف نكتشف إن كانت العلاقة تمثل دالة أم لا، وكيف نميز بين العلاقات المنفصلة والمتصلة، وكيف نستخدم رمز الدالة لحساب القيم بدقة.

الشرح

العلاقة هي مجموعة من الأزواج المرتبة $(x, y)$. المجال هو مجموعة إحداثيات $x$، بينما المدى هو مجموعة إحداثيات $y$. لكي تكون العلاقة دالة، يجب أن يرتبط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط من المدى. إذا تكررت قيمة $x$ مع قيمة مختلفة لـ $y$، فلن تكون العلاقة دالة. الدالة المتباينة هي دالة يرتبط فيها كل عنصر في المجال بعنصر مختلف من المدى، بمعنى ألا يرتبط عنصرا المجال بالعنصر نفسه من المدى. الفرق بين العلاقات المنفصلة والمتصلة يظهر في التمثيل البياني: العلاقة المنفصلة تكون مكونة من نقاط منفردة وغير متصلة، بينما العلاقة المتصلة يمكن تمثيلها بخط مستقيم أو منحنى متصل دون رفع القلم عن الورقة، ويكون مجالها فترة جزئية من الأعداد الحقيقية. لاختبار ما إذا كان التمثيل البياني يمثل دالة، نستخدم اختبار الخط الرأسي: إذا قطع خط رأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة، فالعلّاقة ليست دالة؛ وإن لم يقطعها إلا في نقطة واحدة، فالعلّاقة دالة. رمز الدالة $f(x)$ يستعمل بدلاً من $y$، ويعني قيمة الدالة $f$ عند القيمة $x$، وليس معناه ضرب $f$ في $x$.

مثال محلول خطوة بخطوة

لتكن الدالة $f(x) = 2x^2 - 8$، أوجد قيمة $f(6)$. الخطوة الأولى: اكتب الدالة الأصلية: $f(x) = 2x^2 - 8$ الخطوة الثانية: عوض عن كل $x$ بالعدد 6 في طرفي المعادلة: $f(6) = 2(6)^2 - 8$ الخطوة الثالثة: احسب القيمة الأسية أولاً حسب ترتيب العمليات: $6^2 = 36$ إذن يصبح التعبير: $f(6) = 2(36) - 8$ الخطوة الرابعة: اضرب العدد 2 في 36: $72 - 8$ الخطوة الخامسة: اطرح الناتج النهائي: $f(6) = 64$

أخطاء شائعة

الاعتقاد بأن رمز الدالة $f(x)$ يعني عملية ضرب الحرف $f$ في المتغير $x$، والصواب أنه اسم للدالة يعبر عن قيمتها عند $x$. الخلط بين المجال والمدى، حيث يكتب الطالب إحداثيات $y$ على أنها مجال والعكس صحيح، والصواب أن المجال يخص قيم $x$ والمدى يخص قيم $y$. الخطأ في ترتيب العمليات عند تعويض قيمة سالبة داخل الأسس، مثل نسيان وضع الأقواس عند تربيع عدد سالب.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حدد ما إذا كانت العلاقة الآتية تمثل دالة أم لا: $\{(-6, -1), (-5, -9), (-3, -7), (-1, 7), (-6, -9)\}$ الإجابة: ليست دالة؛ لأن العنصر 6- في المجال ارتبط بعنصرين هما 9- و1- في المدى. السؤال الثاني: إذا كانت $f(x) = -4x - 8$، فأوجد قيمة $f(-3)$. الإجابة: $f(-3) = -4(-3) - 8$ $f(-3) = 12 - 8$ $f(-3) = 4$