خصائص الأعداد الحقيقية

يقوم درس خصائص الأعداد الحقيقية على تصنيف الأعداد إلى مجموعات متداخلة كالطبيعية، والكلية، والصحيحة، والنسبية، وغير النسبية، والتي تشكل مجتمعة مجموعة الأعداد الحقيقية R. كما يغطي خصائص العمليات الحسابية كالتبديل، والتجميع، والتوزيع، والنظير، والعنصر المحياد، والتي تُستعمل لتسطيب العبارات الجبرية وحل المسائل الحياتية. فمثلاً، لتحديد النظير الجمعي للعدد $\frac{5}{8}$ فإننا نبحث عن العدد الذي مجموعه معه يساوي صفراً وهو $-\frac{5}{8}$، بينما النظير الضربي هو مقلوب العدد مع إبقائه على نفس الإشارة وهو $\frac{8}{5}$.

الفكرة الأساسية

تتضمن الأعداد الحقيقية مجموعات مختلفة من الأعداد تبدأ بالأعداد الطبيعية N، مروراً بالأعداد الكلية W، والصحيحة Z، والنسبية Q، والأعداد غير النسبية I، وتجتمع كلها تحت مظلة الأعداد الحقيقية R. يعلمك هذا الدرس كيف تصنف أي عدد داخل هذه المجموعات، وكيف تستعمل خصائص الجمع والضرب مثل التبديل والتجميع والتوزيع لتسطيب العبارات الجبرية وإيجاد النظائر.

الشرح

انظر إلى خريطة مجموعات الأعداد الحقيقية: الأعداد الطبيعية تبدأ من الواحد الصحيح صعوداً ${1, 2, 3,...}$، وتزيد عليها الأعداد الكلية بوجود الصفر ${0, 1, 2, 3,...}$، وتأتي الأعداد الصحيحة لتشمل الأعداد السالبة والموجبة مع الصفر ${..., -2, -1, 0, 1, 2,...}$. الأعداد النسبية هي كل عدد يمكن كتابته على صورة كسر $\frac{a}{b}$ بحيث يكون العددان صحيحان والمقام لا يساوي صفراً، وتكون صورتها العشرية إما منتهية أو دورية. أما الأعداد غير النسبية فهي التي لا يمكن كتابتها على صورة كسر وليست منتهية ولا دورية مثل الجذور التي ليست مربعات كاملة $\sqrt{3}$. فيما يخص خصائص الأعداد الحقيقية لأي أعداد حقيقية a و b و c، فإن خاصية التبديل تعني أن $a + b = b + a$ وأن $a \cdot b = b \cdot a$. وخاصية التجميع تعني أن $(a + b) + c = a + (b + c)$. وخاصية التوزيع تربط الضرب بالجمع هكذا: $a(b + c) = ab + ac$. العنصر المحياد الجمعي هو الصفر لأنه لا يغير قيمة العدد $a + 0 = a$، بينما المحياد الضربي هو الواحد الصحيح $a \cdot 1 = a$. النظير الجمعي لأي عدد هو عكس إشارته بحيث يكون مجموعهما صفراً مثل $a + (-a) = 0$، والنظير الضربي هو مقلوبه بحيث يكون حاصل ضربهما واحداً مثل $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ بشرط أن $a \neq 0$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد النظير الجمعي والنظير الضربي للعدد $-\frac{5}{8}$. الخطوة الأولى: لإيجاد النظير الجمعي، ابحث عن العدد الذي إذا أضفناه إلى $-\frac{5}{8}$ كان الناتج صفراً. بما أن $-\frac{5}{8} + \frac{5}{8} = 0$، إذن النظير الجمعي هو $\frac{5}{8}$. الخطوة الثانية: لإيجاد النظير الضربي، ابحث عن العدد الذي إذا ضربناه في $-\frac{5}{8}$ كان الناتج واحداً. بما أن ضرب العدد في مقلوبه يعطي واحداً، إذن النظير الضربي هو $-\frac{8}{5}$ لأن $(-\frac{5}{8})(-\frac{8}{5}) = 1$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع عند إيجاد النظير الضربي تغيير إشارة العدد مع مقلوبه؛ النظير الضربي يحافظ على إشارة العدد الأصلية تماماً ولا يغيرها، فمثلاً النظير الضربي للعدد سالب خمسة أثمان هو سالب خمسة أثمان مقلوباً وليس موجباً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما النظير الجمعي والنظير الضربي للعدد $3.8$؟ الإجابة: النظير الجمعي هو $-3.8$، والنظير الضربي هو $\frac{5}{19}$ (بعد تحويل الكسر العشري إلى كسر اعتيادي). السؤال الثاني: بسط العبارة الآتية مستخدماً خصائص الأعداد الحقيقية: $3(4x - 2y) - 2(3x + y)$ الإجابة: باستعمال خاصية التوزيع نتحصل على $12x - 6y - 6x - 2y$، ثم باستعمال الخاصية التبديلية للجمع وتجميع الحدود المتشابهة نصل إلى الأبسط: $6x - 8y$.