قطع مستقيمة خاصة في الدائرة

يقوم هذا الدرس على إيجاد أطوال القطع المستقيمة الناتجة عن تقاطع أوتار أو قواطع أو مماس داخل الدائرة أو خارجها. تعتمد الفكرة الأساسية على ربط أطوال أجزاء هذه القطع بعلاقات ضرب ثابتة. فإذا تقاطع وتران داخل الدائرة، فإن حاصل ضرب طولي جزئي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب طولي جزئي الوتر الثاني. وإذا رسم قاطعان من نقطة خارجها، فحاصل ضرب طول القاطع الأول في جزئه الخارجي يساوي حاصل ضرب طول القاطع الثاني في جزئه الخارجي. أما إذا تقاطع مماس وقاطع، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول القاطع في جزئه الخارجي. مثال سريع: إذا تقاطع وتران في أجزاء أطوالها $5$ و$12$ و$x$ و$10$، فإن المعادلة تكون $5 \cdot 12 = x \cdot 10$، ومنها ينتج أن $x = 6$.

الفكرة الأساسية

يقوم الدرس على إيجاد أطوال القطع المستقيمة المتقاطعة داخل الدائرة أو خارجها، سواء كانت أوتاراً أم قواطع أم مماسات. الفكرة تقوم على أن أطوال هذه الأجزاء المترابطة تحكمها قواعد ضرب ثابتة تمكننا من معرفة قياس المجهول.

الشرح

لدينا ثلاث حالات أساسية تصف العلاقات بين هذه القطع: أولاً: الأوتار المتقاطعة داخل الدائرة. انظر إلى نظرية $8.15$: إذا تقاطع وتران في الدائرة، فإن حاصل ضرب طولي جزئي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب طولي جزئي الوتر الثاني. رمزياً، إذا تقاطع الوتران في أجزاء كـ $AB$ و$BC$ و$DB$ و$BE$، تكون العلاقة $AB \cdot BC = DB \cdot BE$. ثانياً: القواطع المتقاطعة خارج الدائرة. انظر إلى نظرية $8.16$: إذا رسم قاطعان لدائرة من نقطة خارجها، فإن حاصل ضرب طول القاطع الأول في طول الجزء الخارجي منه، يساوي حاصل ضرب طول القاطع الثاني في طول الجزء الخارجي منه. رمزياً: $AC \cdot AB = AE \cdot AD$. ثالثاً: المماس والقاطع. انظر إلى نظرية $8.17$: إذا رسم مماس وقاطع لدائرة من نقطة خارجها، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول القاطع في طول الجزء الخارجي منه. رمزياً: $JK^2 = JL \cdot JM$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قيمة $x$ في الشكل الذي تقاطع فيه وتران داخل دائرة، حيث أجزاء الوتر الأول هي $5$ و$12$، وأجزاء الوتر الثاني هي $x$ و$10$. الخطوة الأولى: نكتب نظرية الأوتار المتقاطعة (نظرية $8.15$): $AB \cdot BC = EB \cdot BD$ الخطوة الثانية: نعوض بالأرقام والمتغيرات المعطاة من الشكل: $5 \cdot 12 = x \cdot 10$ الخطوة الثالثة: نجري عملية الضرب البسيطة في الطرف الأيسر: $60 = 10x$ الخطوة الرابعة: نقسم كلا الطرفين على معامل $x$ وهو الرقم $10$: $\frac{60}{10} = \frac{10x}{10}$ النتيجة النهائية هي: $6 = x$

أخطاء شائعة

الخطأ الأكثر شيوعاً هو ضرب طول الجزء الداخلي في الجزء الخارجي فقط أو الخلط بين القطعة الخارجية والقطعة الكاملة للقاطع. تذكر دائماً عند التعامل مع القواطع خارج الدائرة أنك تضرب طول القاطع كاملاً في جزئه الخارجي فقط، وليس في جزئه الداخلي.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد قيمة $x$ لترين متقاطعين أجزاؤهما هكذا: الوتر الأول جزؤاه $x$ و$2$، والوتر الثاني جزؤاه $x + 2$ و$x + 6$. الإجابة: بناء على النظرية يكون $x(x + 2) = (x + 2)(x + 6)$ وبالحل ينتج أن القيمة الصحيحة هي $x = 0$ بحسب معطيات هذا التدريب النموذجي. السؤال الثاني: أوجد قيمة $x$ إذا كان طول المماس هو $8$، وأجزاء القاطع الخارجي هي $x$ والجزء الداخلي $7$. الإجابة: نطبق نظرية المماس والقاطع $PQ^2 = QR \cdot QS$ فيكون $8^2 = x(x + 7)$ ومنها بالحل بالمعادلة التربيعية ينتج أن $x \approx 5.2$ تقريباً.