القاطع والمماس وقياسات الزوايا

يقوم هذا الدرس على إيجاد قياسات الزوايا المرتبطة بالدائرة عندما تتقاطع قواطع أو مماسّات معها أو فيما بينها. الفكرة الأساسية تعتمد على مواقع رأس الزاوية: فإذا كان رأس الزاوية داخل الدائرة، فإن قياسها يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين لها وللرأس. أما إذا كان رأس الزاوية خارج الدائرة، فإن قياسها يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها. وإذا كان رأس الزاوية على الدائرة ومكوناً من مماس وقاطع، فإن قياسها يساوي نصف قياس القوس المقابل. مثال سريع: لو تقاطع قاطعان داخل دائرة وقابلا قوسين قياساهما $80^\circ$ و$120^\circ$، فإن قياس الزاوية المتكونة يساوي نصف مجموعهما، أي نصف $(80^\circ + 120^\circ)$ ليساوي $100^\circ$.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول حساب قياسات الزوايا الناتجة عن تقاطع قواطع أو مماسّات مع الدائرة، أو تقاطعها خارجها أو داخلها. تعتمد القوانين على موقع رأس الزاوية بالنسبة للدائرة؛ هل هو على المحيط، أم في الداخل، أم في الخارج؟

الشرح

انظر إلى موقع رأس الزاوية:

1. إذا كان رأس الزاوية يقع على الدائرة (مثل زاوية محيطية أو زاوية بين مماس وقاطع)، فإن قياس هذه الزاوية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. الرمز: $m\angle 1 = \frac{1}{2} m\overparen{AB}$.

2. إذا تقاطع قاطعان أو وتران داخل الدائرة، فإن قياس الزاوية الناتجة يساوي نصف مجموع قياسي القوس المقابل للزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس. الرمز: $m\angle 1 = \frac{1}{2}(m\overparen{AB} + m\overparen{CD})$.

3. إذا تقاطع قاطعان أو مماس وقاطع أو مماسّان في نقطة خارج الدائرة، فإن قياس الزاوية الناتجة يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها. الرمز: $m\angle A = \frac{1}{2}(m\overparen{DE} - m\overparen{BC})$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قياس الزاوية الناتجة عن تقاطع قاطعين داخل دائرة إذا كان القوسان المقابلان للزاوية ورأسها بالرأس قياساهما $84^\circ$ و$130^\circ$.

الخطوة 1: حدد القاعدة المناسبة. بما أن التقاطع داخل الدائرة، نستخدم نظرية جمع القوسين. الخطوة 2: اكتب القانون: $m\angle TVU = \frac{1}{2}(m\overparen{RS} + m\overparen{UT})$. الخطوة 3: عوض بالأرقام: $m\angle TVU = \frac{1}{2}(84^\circ + 130^\circ)$. الخطوة 4: بسط الناتج: $m\angle TVU = \frac{1}{2}(214^\circ) = 107^\circ$.

أخطاء شائعة

• جمع قياسي القوسين عندما يكون التقاطع خارج الدائرة بدلاً من طرحهما.
• نسيان ضرب الناتج في $\frac{1}{2}$ أو قسمة المجموع على اثنين.
• الخلط بين ترتيب الأقواس عند الطرح خارج الدائرة، رغم أن القيمة المطلقة تمنع السالب، إلا أن القوس الأكبر يُطرح منه القوس الأصغر.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد قيمة $x$ إذا تقاطع قاطعان خارج دائرة وكانا يقابلان قوسين قياساهما $102^\circ$ و$360^\circ - 102^\circ$، وكانت الزاوية الخارجية $m\angle L = \frac{1}{2}(m\overparen{HJK} - m\overparen{HK})$ حيث القوسان هما $360^\circ - 102^\circ$ و$102^\circ$. الإجابة: $78^\circ$.

السؤال الثاني: أوجد قياس زاوية رأسها على الدائرة ويقابلها قوس قياسه $148^\circ$. الإجابة: $74^\circ$ لأن القياس يساوي نصف القوس المقابل.