معادلة الدائرة

تقوم معادلة الدائرة على فكرة أساسية واحدة مستمدة من نظرية فيثاغورس وصيغة المسافة بين نقطتين، وهي أن أي نقطة على محيط الدائرة تبعد مسافة ثابتة تساوي نصف القطر عن المركز. الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة التي مركزها $(h, k)$ وطول نصف قطرها $r$ هي $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. لو أردنا مثلاً كتابة معادلة دائرة مركزها النقطة $(1, -8)$ وطول نصف قطرها $7$، فإننا نعوض مباشرة في الصيغة القياسية لنحصل على $(x - 1)^2 + (y - (-8))^2 = 7^2$ والتي تتبسط إلى $(x - 1)^2 + (y + 8)^2 = 49$.

الفكرة الأساسية

الدائرة هي مجموعة كل النقاط في المستوي الإحداثي التي تبعد مسافة متساوية وثابتة عن نقطة ثابتة تُسمى المركز. هذه المسافة الثابتة هي نصف القطر. إذا تخيلنا نقطة متغيرة $(x, y)$ تتحرك على محيط الدائرة، فإن المسافة بينها وبين المركز $(h, k)$ تساوي دائماً $r$. بتطبيق صيغة المسافة بين نقطتين المستندة إلى نظرية فيثاغورس وتربيع الطرفين، نصل إلى الصيغة التي تصف كل نقطة على الدائرة بدقة.

الشرح

الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة التي مركزها $(h, k)$ وطول نصف قطرها $r$ هي $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. لنتأمل رموز هذه الصيغة: الحرفان $x$ و $y$ يمثلان إحداثيات أي نقطة تقع على محيط الدائرة. الحرفان $h$ و $k$ يمثلان إحداثيي مركز الدائرة. الحرف $r$ يمثل طول نصف القطر، وفي الطرف الأيمن نربع $r$. انتبه للإشارات السالبة داخل الأقواس؛ فهي تعني أننا نطرح إحداثيات المركز من إحداثيات النقطة. إذا كان مركز الدائرة هو نقطة الأصل $(0, 0)$، فإن الصيغة تصبح أبسط: $x^2 + y^2 = r^2$.

مثال محلول خطوة بخطوة

المطلوب كتابة معادلة الدائرة التي مركزها $(-2, 4)$ وتمر بالنقطة $(-6, 7)$. الخطوة الأولى هي إيجاد طول نصف القطر $r$ باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين: $r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. بالتعويض بإحداثيات المركز والنقطة: $r = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + (7 - 4)^2}$. نحسب القيم داخل الأقواس: $r = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2}$. نربع القيم: $ر = \sqrt{16 + 9}$. نجمع: $r = \sqrt{25}$. إذن نصف القطر $r = 5$. الخطوة الثانية هي كتابة معادلة الدائرة بالاستعانة بالمركز $h = -2$ و $k = 4$ ونصف القطر $r = 5$. نكتب الصيغة القياسية $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. نعوض بالأرقام: $(x - (-2))^2 + (y - 4)^2 = 5^2$. بالتبسيط تصبح المعادلة النهائية: $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 25$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع نسيان تربيع طول نصف القطر في الطرف الأيمن من المعادلة، مثل كتابة $7$ بدلاً من $49$. ومن الأخطاء المتكررة أيضاً الخلط في إشارات إحداثيات المركز عند إدخالها في الأقواس بسبب وجود الإشارة السالبة الأصلية في القانون، فتُكتب إحداثيات المركز بعكس إشارتها الصحيحة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: اكتب معادلة الدائرة التي مركزها $(5, 4)$ وتمر بالنقطة $(4, 3)$. الإجابة: $(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 2$. السؤال الثاني: أوجد مركز ونصف قطر الدائرة المعطاة بالمعادلة $(x + 4)^2 + (y - 7)^2 = 25$ ثم مثلها بيانيّاً. الإجابة: المركز هو $(-4, 7)$ ونصف القطر هو $5$.