المماسات

المماس هو مستقيم يقع في المستوى نفسه الذي تقع فيه الدائرة ويقطعها في نقطة واحدة فقط تسمى نقطة التماس. الفكرة الأساسية في هذا الدرس تقوم على ارتباط المماسات بنصف قطر الدائرة؛ فالمستقيم يكون مماساً للدائرة إذا وفقط إذا كان عمودياً على نصف القطر عند نقطة التماس. كما أن قطعتين المماس المرسومتان لدائرة من نقطة خارجها تكونان متطابقتين. مثال سريع: إذا كان لديك قطعتان مماستان مرسومتان من نفس النقطة الخارجية بطول $x + 15$ و$2x - 5$، فبما أنهما متطابقتان تساويهما ببعضهما هكذا: $x + 15 = 2x - 5$ لتجد أن $x = 20$.

الفكرة الأساسية

المماس هو مستقيم يقع في المستوى نفسه الذي تقع فيه الدائرة ويقطعها في نقطة واحدة فقط تسمى نقطة التماس. يرتكز الدرس على ربط المماس بنصف قطر الدائرة عبر التعامد، وتساوي طول قطعتي المماس المرسومتين من نقطة خارج الدائرة.

الشرح

المماس المشترك هو مستقيم أو نصف مستقيم أو قطعة مستقيمية تمس دائرتين في المستوى نفسه. بالنسبة للعلاقة بين المماس ونصف القطر، تنص النظرية 8.10 على أنه يكون المستقيم مماساً لدائرة في المستوى نفسه إذا وفقط إذا كان عمودياً على نصف القطر عند نقطة التماس، ويعني هذا رمزياً أن $ST \perp \ell$ إذا وفقط إذا كان المستقيم $\ell$ مماساً لـ $\odot S$. أما النظرية 8.11 فتنص على أنه إذا رسمت قطعتان مستقيمتان مماستان لدائرة من نقطة خارجها فإنهما متطابقتان، فإذا كان $\overline{AB}$ و $\overline{CB}$ مماسان لـ $\odot D$ إذن $\overline{AB} \cong \overline{CB}$. وتستعمل هذه الخائص لإيجاد الأطوال المجهولة في المضلعات المحيطة بالدائرة.

مثال محلول خطوة بخطوة

في المثال 3، إذا كان $\overline{JH}$ مماساً لـ $\odot G$ عند $J$، فأوجد قيمة $x$. المعطيات تشير إلى أن $GJ = x$ و $JH = 12$ و $GH = x + 8$. الخطوة الأولى: وفقاً للنظرية 8.10، يكون $\overline{GJ} \perp \overline{JH}$، إذن المثلث $\triangle GHJ$ قائم الزاوية. الخطوة الثانية: نطبق نظرية فيثاغورس $GJ^2 + JH^2 = GH^2$. الخطوة الثالثة: نعوض بالأرقام والرموز $x^2 + 144 = (x + 8)^2$. الخطوة الرابعة: نفك القوس بالضرب $x^2 + 144 = x^2 + 16x + 64$. الخطوة الخامسة: نبسط المعادلة بطرح $x^2$ من الطرفين لطرح المتغيرات لتصبح $80 = 16x$. الخطوة الساخنة الأخيرة: بقسمة كلا الطرفين على 16 ينتج أن $5 = x$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الاعتقاد بأن أي قطعة مستقيمية تبدو ملامسة للدائرة هي مماس لها بمجرد النظر دون وجود رمز الزاوية القائمة أو أرقام تؤكد التعامد. ومن الأخطاء أيضاً نسيان فك المربع الكامل عند تطبيق نظرية فيثاغورس على طول مماس مركب مثل $(x + 8)^2$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كان $\overline{AB}$ و $\overline{CB}$ مماسَان للدائرة $D$، وكان طول $\overline{AB} = x + 15$ وطول $\overline{CB} = 2x - 5$، فأوجد قيمة $x$. الإجابة: بما أن المماسين مرسومان من نقطة خارج الدائرة فهما متطابقتان، إذن $x + 15 = 2x - 5$ ومنها يكون $x = 20$. السؤال الثاني: حدد ما إذا كان $\overline{GH}$ مماساً لـ $\odot F$ إذا كانت أطوال أضلاع المثلث الفرضي هي $FG = 6$ و $FH = 8$ و $GH = 12$. الإجابة: نختبر عكس نظرية فيثاغورس هل $6^2 + 8^2 = 12^2$؟ نجد أن $36 + 64 = 100$ وهي لا تساوي $144$، إذن المثلث ليس قائم الزاوية وبالتالي $\overline{GH}$ ليس مماساً لـ $\odot F$.