الزوايا المحيطية

تقوم الفكرة الأساسية للدرس على الزاوية المحيطية، وهي زاوية يقع رأسها على الدائرة ويحتوي ضلاعاها على وترين فيها. وأهم ما في الدرس هو نظرية الزاوية المحيطية التي تنص على أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها، أو بعبارة أخرى أن قياس القوس يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المقابلة له. فلو كان قياس القوس المقابل لزاوية محيطية يساوى $70^{\circ}$, فإن قياس هذه الزاوية يكون نصف السبعين، أي $35^{\circ}$. كما يدرس الدرس حالات خاصة مثل الزاوية المحيطية التي تقابل قطراً في الدائرة ويكون قياسها دائماً يساوي $90^{\circ}$, بالإضافة إلى حالات تطابق الزوايا المحيطية التي تقابل القوس نفسه، وخواص الأشكال الرباعية المحطاة بدائرة التي تكون فيها كل زاويتين متقابلتين متكاملتين مجموعهما $180^{\circ}$.

الفكرة الأساسية

تخيل دائرة مرسومة على السبورة، ورسمنا بداخله زاوية رأسها يقع تماماً على حافة الدائرة وليس في مركزها، وضلعاها عبارة عن وترين يقطعان محيط الدائرة. هذه هي الزاوية المحيطية. الفكرة التي نبني عليها الدرس كله هي العلاقة الثابتة بين فتحة هذه الزاوية وبين جزء الدائرة المحصور بين ضلعيها والذي نسميه القوس المقابل. هذه العلاقة رياضياً تعني أن الزاوية تكون دائماً أصغر من قوسها بالنصف، أو أن القوس يكون ضعف الزاوية.

الشرح

نبدأ أولاً بتعريف الزاوية المحيطية بدقة بناء على ما تراه أمامك في الرسم: هي زاوية يقع رأسها على الدائرة، ويحتوي ضلاعاها على وترين في الدائرة. الجزء الواقع من الدائرة بين هذين الضلعين هو القوس المقابل للزاوية.

ننتقل الآن إلى القاعدة الجوهرية في الدرس وهي نظرية الزاوية المحيطية. تقول القاعدة بوضوح تام: قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. وبالرموز إذا كانت الزاوية هي $1$ والقوس هو $AB$, نكتب القاعدة هكذا: $m\angle 1 = \frac{1}{2}m\widehat{AB}$ ويمكننا كتابة نفس العلاقة بالعكس لنقول إن قياس القوس يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية: $m\widehat{AB} = 2m\angle 1$

هذه النظرية تنطبق على ثلاث حالات حسب موقع مركز الدائرة بالنسبة للزاوية المحيطية: إما أن يكون مركز الدائرة واقعاً على أحد ضلعي الزاوية، أو داخله، أو خارجه، وفي جميع هذه الحالات تبقى القاعدة نفسها.

هناك نتائج مباشرة ومهمة جداً تتفرع عن هذه النظرية:

• النتيجة الأولى: إذا قابلت زاويتان محيطيتان في الدائرة القوس نفسه أو قوسين متطابقين، فإن هاتين الزاويتين تكونان متطابقتين.
• النتيجة الثانية: أي زاوية محيطية تقابل قطراً أو نصف دائرة فإن قياسها يكون قائماً ويساوي تماماً $90^{\circ}$. بمعنى آخر، إذا رأيت مثلثاً مرسوماً داخل دائرة وأحد أضلاعه هو قطر للدائرة، فاعلم مباشرة أن الزاوية المقابلة لهذا القطر هي زاوية قائمة.
• النتيجة الثالثة والأخيرة في الأشكال الرباعية: إذا كان الشكل الرباعي محاطاً بدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه تكونان متكاملتين، أي أن مجموع قياسيهما يساوي $180^{\circ}$.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى الشكل الموجود في المثال الأول حيث توجد زاوية محيطية $P$ وقوس مقابل لها رمزه $\widehat{MN}$, ومعطى لك أن قياس القوس $m\widehat{MN} = 70^{\circ}$, والمطلوب إيجاد قياس الزاوية $m\angle P$.

الخطوة الأولى: نكتب القانون المناسب من نظرية الزاوية المحيطية والذي يربط بين الزاوية والقوس المقابل لها: $m\angle P = \frac{1}{2} m\widehat{MN}$

الخطوة الثانية: نعوض بالقيمة المعطاة في السؤال مكان القوس: $m\angle P = \frac{1}{2} (70^{\circ})$

الخطوة الثالثة: نحسب الناتج النهائي بالضرب والقسمة: $m\angle P = 35^{\circ}$

أخطاء شائعة

• الخطأ الأول والأكثر انتشاراً بين الطلاب هو الخلط بين الزاوية المركزية والزاوية المحيطية. الزاوية المركزية رأسها في مركز الدائرة ويساوي قياسها قياس القوس تماماً دون قسمة على اثنين، بينما المحيطية رأسها على الدائرة وقوسها ضعفها أو هي نصف قوسها. إياك أن تنسى القسمة على اثنين مع الزاوية المحيطية.
• الخطأ الثاني هو الاعتقاد بأن الزاوية التي تقابل نصف الدائرة هي زاوية حادة أو منفرجة، والصحيح دائماً أنها زاوية قائمة قياسها $90^{\circ}$ بالضبط متى ما كان الضلع المقابل لها قطراً كاملاً.
• الخطأ الثالث في الأشكال الرباعية المحاطة بدائرة هو جمع كل زاويتين متجاورتين واعتبار مجموعها $180^{\circ}$, والصحيح رياضياً هو أن التكامل والجمع إلى $180^{\circ}$ يكون للزوايا المتقابلة فقط وليس المتجاورة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في دائرة، إذا كان قياس الزاوية المحيطية يساوي $56^{\circ}$, فما هو قياس القوس المقابل لها؟ الإجابة: قياس القوس المقابل يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية، إذن نضرب الناتج في اثنين: $2 \times 56^{\circ} = 112^{\circ}$.

السؤال الثاني: إذا كان لديك مثلث محاط بدائرة، وأحد أضلاعه يمثل قطراً كاملاً للدائرة، وكان قياس إحدى زاويتي المثلث الحادتين يساوي $40^{\circ}$, فما هو قياس الزاوية المحيطية الثالثة الواقعة في رأس القطر؟ الإجابة: بما أن ضلع المثلث قطر للدائرة، فالزاوية المقابلة له هي زاوية محيطية تقابل نصف دائرة إذن قياسها ثابت ويساوي $90^{\circ}$. ومجموع زوايا المثلث الداخلية يساوي $180^{\circ}$, فنطرح الزاويتين المعلومتين من $180^{\circ}$ لنמצא الزاوية المطلوبة: $180^{\circ} - (90^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.