الأقواس والأوتار

يقوم درس الأقواس والأوتار على ربط القياسات داخل الدائرة ببعضها؛ فإذا تطابق قوسان في دائرة أو دائرتين متطابقتين فإن وتريهما يتطابقان والعكس صحيح. كما يوضح الدرس أن القطر أو نصف القطر العمودي على وتر في الدائرة ينصف ذلك الوتر وينصف قوسه، إضافة إلى أن الأوتار المتساوية في بعدها عن مركز الدائرة تكون متطابقة. انظر إلى الشكل: إذا كان الوتر MN يطابق الوتر PQ في دائرتين متطابقتين، فهذا يعني أن طول MN يساوي طول PQ، ويمكننا استخدام هذه العلاقات لحساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا المجهولة عبر تكوين معادلات جبرية بسيطة واستخدام نظرية فيثاغورس عند الحاجة.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول استنتاج العلاقات الرياضية بين أقواس الدائرة وأوتارها وأبعادها عن المركز. إذا تساوى وتران في الطول فهذا يعني أن قوسيهما متطابقان، وإذا سقط قطر أو نصف قطر بشكل عمودي على وتر فإنه يقسمه إلى نصفين متساويين ويقسم قوسه كذلك، كما أن الأوتار التي تقع على نفس البعد من مركز الدائرة تكون متطابقة.

الشرح

تأمل النظريات الواردة في الدرس لتفهم القوانين رمزاً رمزاً:

• النظرية 8.2: في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، يكون القوسان الأصغران متطابقين إذا وفقط إذا كان الوتران المناهران لهما متطابقين. نعبر عن ذلك رمزياً بالقول: $FG \cong \overline{HJ}$ إذا وفقط إذا كان $FG \cong HJ$.
• النظرية 8.3: إذا كان قطر أو نصف قطر الدائرة عمودياً على وتر فيها، فإنه ينصف ذلك الوتر وينصف قوسه. انظر إلى الشكل: إذا كان القطر $\overline{AB}$ عمودياً على $\overline{XY}$ في النقطة Z، فإن $XZ \cong ZY$ وإن $XB \cong BY$.
• النظرية 8.4: العمود المنصف لوتر في الدائرة هو قطر أو نصف قطر لها.
• النظرية 8.5: في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، يكون الوتران متطابقين إذا وفقط إذا كان بعدهما عن مركز الدائرة متساويين. نعبر عن ذلك رمزياً: $LX = LY$ إذا وفقط إذا كان $FG \cong \overline{HJ}$.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى المثال الذي يطلب إيجاد طول $JL$ في تصميم زجاج ملون حيث $GH$ قطر طوله $30$ و $KM$ وتراً طوله $22$. الخطوة 1: ارسم نصف القطر $JK$. بما أن $GH$ طوله $30$ فإن نصف القطر يساوي $15$ وبما أن أقطار الدائرة جميعها متطابقة إذن $JK = 15$. الخطوة 2: بما أن القطر عمودي على $KM$ فإن النصف ينصف الوتر $KM$ وفق النظرية 8.3 إذن $KL = \frac{1}{2}(22) = 11$. الخطوة 3: أوجد $JL$ باستعمال نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $JKL$: $KL^2 + JL^2 = JK^2$ بالتعويض: $11^2 + JL^2 = 15^2$ بالتبسيط: $121 + JL^2 = 225$ بطرح $121$ من كلا الطرفين: $JL^2 = 104$ بأخذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين: $JL = \sqrt{104}$ إذن: $JL \approx 10.20 \text{ in}$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين منتصف القطر ومنتصف الوتر؛ فالعمود الساقط من المركز ينصف الوتر وقوسه فقط إذا كان متعامداً معه.
• نسيان تطبيق نظرية فيثاغورس بشكل صحيح عند استخدام أطوال أنصاف الأقطار والأوتار معاً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في الدائرة التي مركزها S، إذا كان قياس القوس $m\widehat{PQ} = 98^\circ$، فأوجد قياس القوس $m\widehat{PR}$؟ الإجابة: بما أن نصف القطر $SQ$ يعامُد الوتر $PR$ فإنه ينصفه وينصف قوسه، إذن قياس القوس $m\widehat{PQ} = \frac{m\widehat{PR}}{2}$ وبالتالي $m\widehat{PQ} = \frac{98^\circ}{2} = 49^\circ$. السؤال الثاني: إذا كان الوتران $\overline{MN}$ و $\overline{PQ}$ متطابقين في دائرتين متطابقتين، وكان طول $MN = 2x + 1$ وطول $PQ = 3x - 7$، فأوجد قيمة $x$؟ الإجابة: بما أن الوترين متطابقان فإن طوليهما متساويان، إذن: $2x + 1 = 3x - 7$ وبالتبسيط ونقل المتغيرات في طرف والأرقام في طرف تنتج قيمة: $x = 8$.