قياس الزوايا والأقواس

يرتكز درس قياس الزوايا والأقواس على ربط قياس الزوايا المركزية في الدائرة بقياس الأقواس المقابلة لها، حيث يساوي قياس القوس الأصغر قياس زاويته المركزية دائما. ومجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول مركز الدائرة يساوي $360^{\circ}$، بينما قياس نصف الدائرة يساوي $180^{\circ}$. أما طول القوس فهو جزء من محيط الدائرة ويحسب بالقانون $l = \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi r$. فعندما تكون الزوايا المركزية متطابقة في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، فإن قوسيها تكون متطابقة أيضا.

الفكرة الأساسية

تدور الفكرة الأساسية للدرس حول دراسة العلاقة بين الزوايا المركزية والأقواس داخل الدائرة، وكيفية حساب قياسات الأقواس المختلفة وأنواعها، بالإضافة إلى إيجاد طول القوس كجزء من محيط الدائرة.

الشرح

الزاوية المركزية هي زاوية يقع رأسها في مركز الدائرة وضلعاها نصفا قطرين فيها. مجموع قياسات الزوايا المركزية المتجمعة حول نقطة في الدائرة يساوي $360^{\circ}$. القوس هو جزء من دائرة يحدد بنقطتين طرفيه، ويُقسَم إلى ثلاثة أنواع:

• القوس الأصغر: هو القوس الأقصر الذي يصل بين نقطتين على الدائرة، ويساوي قياسه قياس الزاوية المركزية المقابلة له.
• القوس الأكبر: هو القوس الأطول الذي يصل بين نفس النقطتين، ويساوي قياسه $360^{\circ}$ مطروحا منه قياس القوس الأصغر.
• نصف الدائرة: هو قوس تقع نقطتا طرفيه على قطر الدائرة، ويساوي قياسه $180^{\circ}$.

عند جمع الأقواس المتجاورة، فإن قياس القوس المتكون من قوسين متجاورين يساوي مجموع قياسيهما. ولإيجاد طول القوس $l$ (وهو مسافة على الدائرة وليست درجات)، نستعمل القانون: $l = \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi r$ حيث $x^{\circ}$ هو قياس القوس بالدرجات، و $r$ هو طول نصف القطر.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قيمة $x$ في الشكل المجاور إذا كانت الزوايا المركزية للدايرة هي $130^{\circ}$ و $90^{\circ}$ و $x^{\circ}$.

• الخطوة الأولى: نكتب المعادلة بناء على أن مجموع قياسات الزوايا المركزية يساوي $360^{\circ}$: $130^{\circ} + 90^{\circ} + x^{\circ} = 360^{\circ}$
• الخطوة الثانية: نجمع القيم المعلومة بالتبسيط: $220^{\circ} + x^{\circ} = 360^{\circ}$
• الخطوة الثالثة: نطرح $220^{\circ}$ من كلا الطرفين لإيجاد قيمة $x$: $x = 140$

أخطاء شائعة

• الخلط بين قياس القوس وطول القوس؛ فقياس القوس يقاس بالدرجات ومرتبط بالزاوية المركزية، بينما طول القوس يقاس ب unidades الطول مثل السنتيمتر ويعتمد على محيط الدائرة.
• الاعتماد على شكل القوس بصريا لتحديد كونه أكبر أو أصغر دون النظر إلى قياس زاويته المركزية مقارنة بـ $180^{\circ}$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في دائرة نصف قطرها $r = 5 \text{ cm}$، إذا كان قياس القوس $x^{\circ} = 130^{\circ}$، فما طول القوس مقربا إلى أقرب جزء من مئة؟ الإجابة: $l \approx 11.34 \text{ cm}$

السؤال الثاني: إذا كان قياس القوس الأصغر $m\widehat{AB} = 65^{\circ}$، فما قياس القوس الأكبر المقابل له؟ الإجابة: $360^{\circ} - 65^{\circ} = 295^{\circ}$