الدائرة ومحيطها

يقوم درس الدائرة ومحيطها على دراسة خصائص الدائرة وعناصرها الأساسية مثل نصف القطر والوتر والقطر، وكيفية إيجاد العلاقة بينها وبين محيط الدائرة باستخدام العدد الثابت $\pi$. الفكرة الأساسية ترتبط بحساب المسافة حول الدائرة كاملة بمعلومية قطرها أو نصف قطرها عبر القانون $C = \pi d$ أو $C = 2\pi r$. فمثلاً، إذا كان قطر الدائرة يساوي $8\text{ cm}$، فإن محيطها يساوي حاصل ضرب $8$ في $\pi$ ليصبح الناتج $8\pi\text{ cm}$ أو ما يعادل تقريباً $25.13\text{ cm}$.

الفكرة الأساسية

تدور الفكرة حول استكشاف هندسة الدائرة ومكوناتها الداخلية من أنصاف أقطار وأوتار وأقطار، وربط هذه الأبعاد بطول المنحنى المغلق المحيط بالدائرة والذي يسمى محيط الدائرة، مستخدمين العلاقة الثابتة مع العدد غير النسبي باي $\pi$.

الشرح

الدائرة هي المحل الهندسي لجميع النقاط في المستوى التي تبعد بعداً ثابتاً عن نقطة معلومة تسمى مركز الدائرة. يرمز للدائرة التي مركزها $C$ بالرمز $\odot C$. القطعة المستقيمة التي يقع أحد طرفيها على المركز والطرف الآخر على الدائرة تسمى نصف القطر، وتكتب كرمز $r$. أما الوتر فهو قطعة مستقيمة يقع طرفاها على الدائرة. والقطر هو وتر يمر بمركز الدائرة، ويتكون من نصفي قطريين يقعان على استقامة واحدة، ويرمز له بالرمز $d$. العلاقة بين نصف القطر والقطر تعبر عن أن القطر يساوي ضعف نصف القطر، وتكتب رياضياً على صورة $d = 2r$ أو $r = \frac{1}{2}d$. أما محيط الدائرة $C$ فيساوي حاصل ضرب طول القطر في $\pi$ أو مثلي نصف القطر في $\pi$، وتكتب الصيغتان على النحو التالي: $C = \pi d$ أو $C = 2\pi r$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد محيط الدائرة إذا كان نصف قطرها يساوي $7\text{ cm}$. الخطوة الأولى: نكتب صيغة محيط الدائرة التي تعتمد على نصف القطر وهي $C = 2\pi r$. الخطوة الثانية: نعوض بقيمة نصف القطر $r = 7$ في الصيغة، ليصبح الشكل $C = 2\pi(7)$. الخطوة الثالثة: نبسط المقدار بضرب الأعداد في بعضها ليكون الناتج $C = 14\pi$. الخطوة الرابعة: نستخدم الآلة الحاسبة لضرب $14$ في قيمة $\pi$ المقدرة بـ $3.14159$ ليصبح الناتج تقريباً $43.98\text{ cm}$.

أخطاء شائعة

الخلط بين استخدام طول نصف القطر وطول القطر في قانون المحيط، كأن يعوض الطالب بقيمة نصف القطر في صيغة القطر مباشرة دون ضربه في اثنين. الخطأ الثاني هو استخدام قيمة نصف القطر في القانون بينما المعطى في المسألة هو القطر كاملًا.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كان قطر دائرة يساوي $14\text{ ft}$، فأوجد نصف قطرها ومحيطها مقرباً إلى أقرب جزء من مئة. الإجابة: نصف القطر يساوي $7\text{ ft}$، والمحيط يساوي تقريباً $43.98\text{ ft}$. السؤال الثاني: إذا كان محيط دائرة يساوي $31.4\text{ cm}$، فأوجد طول قطرها. الإجابة: طول القطر يساوي تقريباً $10\text{ cm}$.