التمدد (٢)

التمدد تحويل هندسي يكبر الشكل أو يصغره بنسبة محددة تسمى معامل التمدد، مركزها نقطة الأصل، بحيث تحافظ على قياسات الزوايا وتغير أطوال الأضلاع بالضرب في المعامل. انظر إلى الشكل ABCD، عندما يكون معامل التمدد $0.5$ فإن كل إحداثي $(x, y)$ يتحول إلى $(0.5x, 0.5y)$، فتنتج صورة جديدة مطابقة للشكل الأصلي في النسبة ومصغرة في الحجم.

الفكرة الأساسية

التمدد هو تحويل هندسي يكبر الشكل أو يصغره نسبة إلى مركز محدد وبمعامل تمدد معين، لتكون الصورة الجديدة تشبه الأصل تماماً مع اختلاف الأطوال.

الشرح

لكل نقطة في المستوى الإحداثي، إذا كان مركز التمدد هو نقطة الأصل، ومعامل التمدد هو $k$، فإننا نوجد إحداثيات الصورة الجديدة بضرب إحداثيات كل رأس من الأشكال الأصلية $(x, y)$ في معامل التمدد $k$ لتصبح القاعدة $(kx, ky)$. إذا كانت قيمة $k$ أكبر من الواحد ($k > 1$) فهذا يعني تكبيراً، وإذا كانت قيمة $k$ محصورة بين الصفر والواحد ($0 < k < 1$) فهذا يعني تصغيراً.

مثال محلول خطوة بخطوة

مثل بيانيا الشكل $ABCD$ ورءوسه هي: $A(0, 0)، B(0, 8)، C(8, 8)، D(8, 0)$، وصورته الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله $0.5$. الخطوة الأولى: اضرب إحداثيات $x$ و $y$ لكل رأس في معامل التمدد $0.5$. القاعدة هي: $(x, y) o (0.5x, 0.5y)$ الرأس $A(0, 0) o A'(0, 0)$ الرأس $B(0, 8) o B'(0, 4)$ الرأس $C(8, 8) o C'(4, 4)$ الرأس $D(8, 0) o D'(4, 0)$ الخطوة الثانية: ارسم الشكل الأصلي $ABCD$ والصورة الناتجة $A'B'C'D'$ في المستوى الإحداثي.

أخطاء شائعة

نسيان ضرب كلا الإحداثيين $x$ و $y$ في معامل التمدد، أو الخلط بين التكبير والتصغير عندما يكون معامل التمدد كسرا محصورا بين الصفر والواحد.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما هي إحداثيات صورة النقطة $(4, 6)$ بعد تمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله $1.5$؟ الإجابة: $(6, 9)$ السؤال الثاني: إذا كان معامل التمدد يساوي $2$، ورأس الشكل الأصلي هو $(3, 5)$، فما هي إحداثيات الصورة الجديدة؟ الإجابة: $(6, 10)