التمدد (١)

التمدد هو تحويل هندسي يكبر الشكل أو يصغره بنسبة محددة منسوبة إلى مركز التمدد، وتسمى هذه النسبة معامل مقياس التمدد. الفكرة الأساسية تقوم على ضرب أبعاد الشكل الأصلي أو إحداثياته في معامل التمدد k لتحديد موقع الصورة الجديدة. إذا كان $k > 1$ يكون التمدد تكبيرا، وإذا كان التمدد محصورا بين $0$ و$1$ يكون تصغيرا، وإذا كان $k = 1$ يكون تطابقا. مثال سريع: إذا كان لدينا نقطة إحداثياتها $(2, 3)$ ومركز التمدد هو نقطة الأصل، وتم إجراء تمدد بمعامل مقياس $k = 2$، فإن إحداثيات الصورة الناتجة تصبح بالضرب المباشر في المعامل هكذا: $(2 \times 2, 3 \times 2)$ لتنتج النقطة الجديدة $(4, 6)$، وهو ما يعبر عنه بالرمز الجبري $(x, y) \to (kx, ky)$ في المستوى الإحداثي.

الفكرة الأساسية

التمدد تحويل هندسي يكبر الشكل أو يصغره بنسبة محددة هي نسبة أحد أطوال الصورة إلى الطول المناظر لها في الشكل الأصلي، وتسمى هذه النسبة معامل مقياس التمدد، ويتم تحديد التمدد بمعرفة مركزه ومعامله، وهو يعتبر نوعا من تحويلات التشابه.

الشرح

انظر إلى القاعدة الأساسية: التمدد الذي مركزه $C$ ومعامله هو العدد الموجب $k$ حيث $k \neq 1$، ينقل النقطة $P$ في شكل ما إلى صورتها $P'$ بحيث إنه إذا انطبقت النقطة $P$ على مركز التمدد $C$ فإن صورتها هي النقطة $P$ نفسها، أما إذا لم تنطبق النقطة $P$ على مركز التمدد $C$ فإن صورتها $P'$ تقع على الشعاع $CP$ ويكون الطول $CP' = k(CP)$. من تعريف معامل مقياس التمدد نجد أنه إذا كان $k > 1$ فإن أبعاد الصورة تكون أكبر من الأبعاد المناظرة لها في الشكل الأصلي وعندها يكون التمدد تكبيرا، وإذا كان معامل التمدد يقع بين $0$ و$1$ فإن أبعاد الصورة تكون أصغر من الأبعاد المناظرة لها في الشكل الأصلي وعندها يكون التمدد تصغيرا، وإذا كان $k = 1$ يسمى التمددا مطاباقا إذ يكون الشكل الأصلي وصورته متطابقين. أما في المستوى الإحداثي، فيمكنك استعمال القاعدة الآتية لإيجاد إحداثيات الصورة الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل، والتعبير اللفظي لها هو: لإيجاد إحداثيات الصورة الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل اضرب الإحداثيين $x$ و$y$ لكل نقطة في الشكل الأصلي في معامل مقياس التمدد $k$، والرموز تعبر عن ذلك هكذا: $(x, y) \to (kx, ky)$.

مثال محلول خطوة بخطوة

إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي $JKLM$ هي: $J(-2, 4)$ و$K(-2, -2)$ و$L(-4, -2)$ و$M(-4, 2)$. مثل بيانياً $JKLM$ وصورته الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله $2.5$. الخطوة الأولى: اكتب قاعدة التمدد في المستوى الإحداثي بضرب كل إحداثي في $2.5$ لتصبح القاعدة $(x, y) \to (2.5x, 2.5y)$. الخطوة الثانية: طبق القاعدة على كل رأس من رؤوس الشكل الأصلي:

• بالنسبة للنقطة $J(-2, 4)$ اضرب الإحداثيين في $2.5$ لتنتج النقطة $J'(-5, 10)$.
• بالنسبة للنقطة $K(-2, -2)$ اضرب الإحداثيين في $2.5$ لتنتج النقطة $K'(-5, -5)$.
• بالنسبة للنقطة $L(-4, -2)$ اضرب الإحداثيين في $2.5$ لتنتج النقطة $L'(-10, -5)$.
• بالنسبة للنقطة $M(-4, 2)$ اضرب الإحداثيين في $2.5$ لتنتج النقطة $M'(-10, 5)$. الخطوة الثالثة: ارسم المستوى الإحداثي، وعين عليه رؤوس الشكل الأصلي $JKLM$ وصيله لتكوين الشكل، ثم عين رؤوس الشكل الجديد $J'K'M'L'$ وصل بينها لتمثيل الصورة الناتجة بيانياً.

أخطاء شائعة

• الخلط بين التكبير والتصغير من خلال نسيان مدى قيمة معامل التمدد $k$؛ فالقيمة التي أكبر من $1$ تكبير، والتي بين $0$ و$1$ تصغير.
• قسمة أبعاد الأصل على أبعاد الصورة بدلا من العكس عند حساب معامل مقياس التمدد، والصحيح أن المعامل يساوي طول الصورة مقسوما على طول الأصل.
• تطبيق معامل التمدد على أحد الإحداثيين فقط في المستوى الإحداثي ونسيان الإحداثي الآخر، والصحيح هو ضرب كل من $x$ و$y$ في معامل التمدد $k$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: مثل بيانيا المضلع المعطى إحداثيات رؤوسه، ثم مثل صورته الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله المحدد: $Q(0, 6)$ و$R(-6, -3)$ و$S(6, -3)$ ومعامل التمدد $k = \frac{1}{3}$. الإجابة: قاعدة التمدد هي $(x, y) \to (\frac{1}{3}x, \frac{1}{3}y)$. بتطبيق القاعدة على الرؤوس تنتج الإحداثيات الجديدة للصورة: $Q'(0, 2)$ و$R'(-2, -1)$ و$S'(2, -1)$. يتم تمثيلها بيانياً على شبكة الإحداثيات. السؤال الثاني: حدد ما إذا كان التمدد تكبيرا أم تصغيرا إذا علمت أن معامل التمدد هو $k = 0.75$. الإجابة: بما أن معامل التمدد $k = 0.75$ يقع بين العددين $0$ و$1$، إذن فهو تمدد تصغير لأن أبعاد الصورة تكون أصغر من الأبعاد المناظرة لها في الشكل الأصلي.