التماثل

يقوم درس التماثل على فكرة مطابقة الشكل لنفسه بعد إجراء تحويل هندسي محدد. يتناول الدرس أربعة أنواع رئيسية: التماثل حول محور في الأشكال الثنائية الأبعاد، حيث يقسم الخط الشكل إلى نصفين متطابقين، والتماثل الدوراني الذي يتحقق عندما ينطبق الشكل على نفسه بعد دوران بزاوية بين $0^\circ$ و $360^\circ$ حول مركزه، إضافة إلى التماثل حول مستوى والتماثل حول محور للأشكال الثلاثية الأبعاد. فمثلاً، مربع له أربعة محاور تماثل، وله تماثل دوراني برتبة $4$ وزاوية مقدارها $90^\circ$، لأن دورانه بهذه الزاوية يطابقه تماماً.

الفكرة الأساسية

يقوم درس التماثل على دراسة إمكانية انطباق الشكل الهندسي على نفسه بعد إجراء تحويل هندسي، سواء كان انعكاساً حول خط أو مستوى، أو دوران حول نقطة أو محور.

الشرح

نبدأ بالتماثل في الأشكال الثنائية الأبعاد. النوع الأول هو التماثل حول محور، حيث يكون الشكل متماثلاً حول محور إذا كانت صورته الناتجة عن انعكاس حول مستقيم ما هي الشكل نفسه، ويسمى هذا المستقيم محور تماثل. النوع الثاني هو التماثل الدوراني، وفيه يكون الشكل الثنائي الأبعاد متماثلاً دورانياً إذا كانت صورته الناتجة عن دوران بين $0^\circ$ و $360^\circ$ حول مركزه هي الشكل نفسه، ويسمى مركز الدوران مركز التماثل. يسمى عدد المرات التي تنطبق فيها صورة الشكل على الشكل نفسه أثناء دورانه من $0^\circ$ إلى $360^\circ$ رتبة التماثل، بينما يمثل مقدار التماثل أصغر زاويّة يدورها الشكل حتى ينطبق على نفسه. وترتبط الرتبة بالمقدار بالعلاقة: مقدار التماثل يساوي ناتج قسمة $360^\circ$ على رتبة التماثل. أما في الأشكال الثلاثية الأبعاد، فيوجد التماثل حول مستوى، حيث يكون الشكل متماثلاً حول مستوى إذا أمكن تقسيمه بهذا المستوى إلى شكلين متطابقين تماماً بحيث يكون كل منهما صورة للآخر. وكذلك يوجد التماثل حول محور، وهو أن يمكن تدوير الشكل الثلاثي الأبعاد حول هذا المحور بزاوية بين $0^\circ$ و $360^\circ$ ليصبح كما كان في وضعه الأصلي.

مثال محلول خطوة بخطوة

خذ الشكل السداسي المنتظم. لفحص التماثل الدوراني له: هل ينطبق على نفسه بدوران بين $0^\circ$ و $360^\circ$ حول مركزه؟ النتيجة نعم، لأن أقطاره تتقاطع في مركز التماثل. لتحديد رتبة التماثل: رتبة التماثل تساوي $6$. لتحديد مقدار التماثل: نطبق العلاقة $360^\circ \div$ رتبة التماثل، أي $360^\circ \div 6 = 60^\circ$. إذن رتبة التماثل هي $6$ ومقدار التماثل هو $60^\circ$.

أخطاء شائعة

الخلط بين رتبة التماثل ومقدار التماثل، بحيث يعتقد الطالب أن المقدار هو عدد المرات بينما هو قياس زاوية الدوران الأصغر. وكذلك نسيان وحدة الدرجة عند حساب مقدار التماثل الدوراني.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: بيّن ما إذا كان للمثلث المتطابق الأضلاع محور تماثل أم لا، وإذا كان كذلك فارسم محاور التماثل جميعها، وحدد عددها. الإجابة: نعم، له محور تماثل، وعددها $3$ محاور. السؤال الثاني: بيّن ما إذا كان للشكل السداسي المنتظم تماثل دوراني أم لا، وإذا كان كذلك، فعين مركز التماثل، وحدد رتبته ومقداره. الإجابة: نعم، مركز التماثل هو نقطة تقاطع أقطاره، رتبة التماثل = $6$، ومقدار التماثل = $60^\circ$.