صفحة ١٤١
انظر إلى أثار الأقدام على الرمل، فهي تمثل إزاحة يعقبها انعكاس، وهذا ما نسميه تحويلاً هندسياً مركباً حين تجري أكثر من تحويل هندسي الواحد تلو الآخر. انظر إلى مفهوم أساسي تحت عنوان تركيب إزاحة انعكاس، فالشكل يوضح نقطة تنقلها الإزاحة ثم ينعكس الشكل حول مستقيم. في مثال واحد، انظر إلى المثلث JKL بإحداثياته المعطاة. الخطوة الأولى هي تطبيق الإزاحة على كل رأس بإضافة 4 إلى الإحداثي y لتصبح النقاط الجديدة J prime و K prime و L prime. الخطوة الثانية هي إجراء انعكاس حول المحور y بتغيير إشارة الإحداثي x لنحصل على نقاط الصورة النهائية J double prime و K double prime و L double prime. انظر إلى التمثيل البياني كيف استقر المثلث في موقعه الجديد بعد هذين التحويلين.
صفحة ١٤٢
انظر إلى تدرب من فهمك، حيث يُطلب منك تمثيل المثلث PQR بيانيا وتطبيق تحويل مركب يتكون من إزاحة ثم انعكاس حول المحور x. انظر الآن إلى نظرية 7.1 التي تنص على أن تركيب تحويلي تطابق أو أكثر هو تحويل تطابق أيضاً، مما يعني أن أبعاد الشكل وقياساته تظل ثابتة لا تتغير. انتقل إلى مثال 2، ولديك إحداثيات قطعتي C و D، والمطلوب إجراء انعكاس حول المحور x أولاً، ثم دوران بزاوية 90 درجة حول نقطة الأصل. الخطوة الأولى تطبق قاعدة انعكاس المحور x بتغيير إشارة الإحداثي y. الخطوة الثانية تطبق قاعدة الدوران بتغيير أماكن الإحداثيات وتغيير إشارة الإحداثي الجديد. انظر إلى الرسم البياني الناتج وكيف تحركت القطعة المستقيمة لتستقر في موقعها الأخير C double prime D double prime.
صفحة ١٤٣
انظر إلى نظرية 7.2 التي تخبرك أن تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين يكافئ إزاحة، اتجاهها عمودي على المستقيمين ومقدارها يساوي ضعف المسافة بينهما. انظر إلى نظرية 7.3 التي تخبرك أن تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين يكافئ دوران، مركزه نقطة تقاطع المستقيمين وقياس زاويته يساوي ضعف قياس الزاوية التي يشكلها تقاطع هذين المستقيمين. في مثال 3، انظر إلى الشكل A المعروض والمطلوب رسم صورته الناتجة عن انعكاسين. انظر كيف نطبق الخطوة الأولى بانعكاس حول المستقيم m ثم الخطوة الثانية بانعكاس حول المستقيم p. لاحظ الحسابات بالأرقام، فالمسافة المذكورة بين المستقيمين المتقاطعين هي 60 درجة، ومقدار الإزاحة ينتج من ضرب المسافة في اثنين لتجد الناتج النهائي بدقة.
صفحة ١٤٤
انظر إلى سجاد ومثال 4، حيث تُستعمل تحويلاس هندسية مركبة عند تصميم الأنماط. في الفقرة a، انظر كيف تكون النمط بتركيب انعكاس وإزاحة متقاطعين، حيث تم إزاحة الشكل لليمين موازياً للمستقيم m الذي يمر في منتصف الشكل الأصلي. في الفقرة b، تكون النمط بتركيب إزاحة وانعكاس، حيث ينتقل الشكل A إلى B متبوعاً بانعكاس حول المستقيم n كما يظهر في السهم والألوان المتناسقة. انظر إلى أسئلة تحقق من فهمك، ومهمتك هي وصف التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل B إلى B prime ثم إلى B double prime بالاعتماد على المستقيمات المعطاة وقيم الزوايا أو المسافات المطبوعة في الرسم.
صفحة ١٤٥
انظر إلى ملخص المفهوم في أعلى الصفحة، فهو يربط لك بين تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين وبين الإزاحة، ويوضح أن تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين يعطي دورانًا. في قسم تأكد، انظر إلى التمرين الأول والثاني، ومطلوب منك تمثيل المثلث CDE بيانيا وتطبيق الإزاحات المحددة، ثم إجراء انعكاس حول المحور x تارة، ودوران بزاوية 90 درجة تارة أخرى. في التمرين الثالث، انظر إلى الشكل S والمستقيمين p و m، وعليك رسم صورة الشكل S بعد انعكاسين متتاليين ووصف التحويل الهندسي المركب الذي ينقله إلى موقعها النهائي S double prime بالاستفادة من الزاوية المعطاة 50 درجة والمسافة المطبوعة 1.5 إنش.
صفحة ١٤٦
انظر إلى التمرين الحادي عشر والثاني عشر، ومطلوب منك رسم صورة الشكل D الناتجة عن انعكاسين حول مستقيمين p و m، ثم وصف التحويل الهندسي المركب بدقة. في التمرين الثالث عشر إلى الخامس عشر، انظر إلى أنماط الأقمشة والمراوح والأوراق، ومطلوب وصف التحويل الهندسي المركب الذي يمكن استخدامه لتكوين النمط في كل منها. في التمرين السابع عشر والثامن عشر، انظر إلى تمثيل الدوال على المستوى الإحداثي، وعليك تمثيل صورة كل من الدالتين بعد دوران بزاوية 90 درجة حول نقطة الأصل ثم انعكاس حول المحور x أو y. في التمرين العشرين، اكتب برهانا حرا بالاستفادة من معطيات الإزاحة والانعكاس لإثبات تطابق القطعتين المستقمتين.
صفحة ١٤٧
انظر إلى تمرين الحياكة وآثار الأقدام، واستعن بمعلومات الربط مع الحياة حيث يساوي طول خطوة الحيوان المسافة بين أثري قدمين متتاليين. في التمرينين الرابع والعشرين والخامس والعشرين، انظر إلى الشكلين المعروضين ومطلوب وصف التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل الأزرق إلى البني في كل حالة. في التمرين السادس عشر بعد المئتين، اكتب برهانا حرا للنظرية 7.2 مستخدماً معطيات انعكاس القطعة BC حول المستقيمين p و q لإثبات أن طول الإزاحة يساوي ضعف المسافة بينهما. وفي التمرين السابع عشر بعد المئتين، اكتب برهانا حرا للنظرية 7.3 مستخدماً نقطة التقاطع ومقدار زاوية الدوران الناتجة عن الانعكاسين المتتاليين.
صفحة ١٤٨
انظر إلى قسم تبرير في التمارين من التاسع والعشرين إلى الحادي والثلاثين، وعليك شرح تأثير إجراء انعكاسات متعامدة أو دورانات متتالية على موقع الصورة الناتجة، وهل يتأثر الترتيب أم لا. في التمرين الثاني والثلاثين، أجب عن إمكانية بقاء نقاط ثابتة في التحويلات الهندسية المركبة ووضح إجابتك رياضياً. انظر إلى سؤال تدريب على اختبار برقم ثلاثة وثلاثين، ومطلوب إيجاد إحداثيات النقطة D بعد إجراء إزاحة ثم انعكاس حول المحور y. في قسم مراجعة تراكمية، استعمل منقلة ومسطرة لرسم صور الأشكال الناتجة عن الدوران بالزوايا المبينة، أو الإزاحات المحددة للمثلثات والأشكال الرباعية في التمارين من خمسة وثلاثين إلى تسعة وثلاثين.
صفحة ١٤٩
انظر إلى عنوان الدرس الجديد وهو التبليط تحت معمل الهندسة، فالتبليط هو نمط يتكون من شكل أو أكثر، يغطي سطحا من دون تقاطعات أو فراغات، بحيث يكون مجموع قياسات الزوايا حول كل رأس في التبليط 360 درجة. انظر إلى التبليط المنتظم الذي يُستعمل فيه نوع واحد فقط من المضلعات المنتظمة. انظر إلى نشاط واحد، ومطلوب تحديد ما إذا كان استعمال مضلع سداسي أو مضلع عشري ممكناً لتكوين تبليط في المستوى أم لا. انظر إلى طريقة الحساب بتطبيق صيغة الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم والتي تعطى بالصيغة x تساوي n ناقص اثنين ضرب 180 مقسوماً على n. بالنسبة للسداسي الناتج هو 120 وبما أن 120 أحد عوامل 360 إذن يمكن تبليط المستوي به. أما العشري فالناتج 144 وليست من عوامل 360 إذن لا يمكن.
صفحة ١٥٠
انظر إلى نشاط 2 تحت عنوان تصنيف التبليط، حيث يُطلب منك تحديد ما إذا كانت الأنماط الآتية تبليطاً أم لا، وإن كان كذلك فصنفه إلى منتظم أو غير منتظم وإلى متسق أو غير متسق. في الشكل الأول a، انظر إلى عدم وجود فراغات أو تقاطعات، وهو يتكون من أشكال سداسية منتظمة ومربعات ومثلثات متطابقة الأضلاع، وبسبب وجود 5 زوايا عند بعض الرؤوس فهو غير متسق رغم أنه تبليط شبه منتظم. في الشكل b، توجد فراغات، إذن ليس تبليطاً. في الشكل c، لا توجد فراغات أو تقاطعات وهو يتكون من شبه منحرف ومضلع غير منتظم، لذا فهو تبليط غير منتظم لكنه متسق. انظر إلى نشاط 3، ومطلوب رسم مثلث واستعماله لإنشاء تبليط عبر الخطوات الأربع من رسم المثلث ودورانه بمقدار 180 درجة ثم إجراء إزاحات متتالية.
صفحة ١٥١
انظر إلى نشاط 4، وهدفه إنشاء تبليط باستخدام الآلة الحاسبة البيانية TI-nspire وتحديداً عبر 8 خطوات متتالية تظهر على الشاشة. في الخطوة الأولى، ارسم قطعة مستقيمة AB باتباع مسار القوائم في الآلة بفتح تطبيق الهندسة ثم اختيار النقاط والمستقيمات ثم قطعة مستقيمة وتسمية طرفيها بالحرفين A و B. في الخطوة الثانية، ارسم مستقيماً موازياً للقطعة AB عبر اختيار قائمة الإنشاء الهندسي ثم مستقيم موازي وتحديد النقطة C على الشاشة. في الخطوة الثالثة، ارسم مستقيماً موازياً لقطعة BC ويمر في النقطة A، ثم عين نقطة تقاطع المستقيمين الموازيين لـ AB و BC لتظهر نقطة التقاطع وتسمى D كما هو موضح في رسومات الشاشة الثلاثة.
صفحة ١٥٢
انظر إلى استكمال خطوات إنشاء التبليط في الآلة الحاسبة البيانية. في الخطوة الرابعة، قم بإخفاء القطعة المستقيمة BC بالضغط عليها ثم اختيار إخفاء من القائمة، وبالمثل قم بإخفاء المستقيم AD، ثم ارسم نقطة على يمين BC وسمها E، وصل بين B و E ثم بين C و E باستخدام أدوات القطعة المستقيمة في القائمة. في الخطوة الخامسة، ارسم مستقيماً موازياً لـ BE ويمر في A، ومستقيماً موازياً لـ CE ويمر في D، ثم حدد نقطة تقاطع المستقيمين الموازيين وسمها F. في الخطوة السادسة، قم بإخفاء المستقيمات الزائدة واستعمل أداة المضلع من القائمة الهندسي لتحديد ورسم مضلع سداسي برؤوسه المتتالية البدء بأحدها والانتهاء بالضغط على مفتاح الهروب esc.
صفحة ١٥٣
انظر إلى الخطوة السابعة والأخيرة من إنشاء التبليط، حيث يتم عمل انسحاب للمضلع بالضغط على التحويل الهندسي ثم الانسحاب وتحديد الرؤوس لعمل نسخة منه ثم سحب النسخة للمكان المناسب وتكرار ذلك للحصول على التبليط الكامل. في الخطوة الثامنة، قم بتلوين التبليط الذي أنشأته بتحديد كل مضلع واختيار لون التعبئة المناسب. انظر الآن إلى قسم تمارين في أسفل الصفحة، ومطلوب تحديد ما إذا كان استعمال المضلعات المنتظمة الآتية لتكوين تبليط ممكنًا أم لا بكتابة نعم أو لا للمثلث والمضلع الخماسي ومضلع له 16 ضلعًا. في التمارين من 4 إلى 6، حدد نوع التبليط في الأنماط المعروضة. وفي التمارين من 7 إلى 9، ارسم نمط تبليط باستخدام المضلع الثماني المنتظم والمربع أو المثلث قائم الزاوية أو شبه المنحرف ومتوازي الأضلاع.
