الدوران

يقوم الدوران على تحويل هندسي يحرك كل نقطة في الشكل الأصلي بزاوية محددة وفي اتجاه ثابت حول نقطة ثابتة تسمى مركز الدوران، وهو يحافظ على الأبعاد وقياسات الزوايا والتطابق. في المستوى الإحداثي، يتم تدوير النقطة $(x, y)$ حول نقطة الأصل بعكس اتجاه عقارب الساعة بقواعد محددة؛ فدوران بزاوية $90^{\circ}$ يحولها إلى $(-y, x)$، ودوران بزاوية $180^{\circ}$ يحولها إلى $(-x, -y)$، ودوران بزاوية $270^{\circ}$ يحولها إلى $(y, -x)$. على سبيل المثال، لتطبيق دوران بزاوية $90^{\circ}$ على النقطة $(5, 2)$، نبدل الإحداثيين ونضرب الإحداثي الجديد $y$ في $1-$ لتصبح الصورة الناتجة هي $(-2, 5)$.

الفكرة الأساسية

الدوران هو تحويل هندسي يحرك كل نقطة في الشكل بزاوية محددة واتجاه ثابت حول نقطة ثابتة تسمى مركز الدوران. إذا كانت النقطة هي مركز الدوران فإنها تبقى كما هي، وإذا كانت غير ذلك فإن مسافتها عن المركز تبقى ثابتة وتشكل مع صورتها زاوية تساوي زاوية الدوران. يُعد الدوران تحويل تطابق؛ لأنه يحافظ على الأبعاد وقياسات الزوايا وترتيب النقاط والاستقامة. في المستوى الإحداثي، نستخدم قواعد محددة لتدوير النقاط حول نقطة الأصل بعكس اتجاه عقارب الساعة؛ فدوران بزاوية $90^{\circ}$ يغير النقطة $(x, y)$ إلى $(-y, x)$، ودوران بزاوية $180^{\circ}$ يغيرها إلى $(-x, -y)$، ودوران بزاوية $270^{\circ}$ يغيرها إلى $(y, -x)$.

الشرح

لكل زوران عنصران أساسيان هما مركز الدوران وزاوية الدوران والاتجاه. الاتجاه الافتراضي للحركة هو عكس اتجاه عقارب الساعة إلا إذا ذكر النص خلاف ذلك. عند العمل في المستوى الإحداثي وحول نقطة الأصل تحديداً، نتبع خطوات جبرية دقيقة لكل زاوية. في دوران $90^{\circ}$، نضرب الإحداثي $y$ في $1-$ ثم نبدل موقعي الإحداثيين $x$ و$y$. في دوران $180^{\circ}$، نضرب كلا الإحداثيين $x$ و$y$ في $1-$ دون تبديل موقعيهما. في دوران $270^{\circ}$، نضرب الإحداثي $x$ في $1-$ ثم نبدل موقعي الإحداثيين $x$ و$y$. تذكر أن دوران بزاوية $360^{\circ}$ يعيد الشكل إلى وضعه الأصلي تماماً.

مثال محلول خطوة بخطوة

لتكن إدحاثيات رؤوس المثلث $PQR$ هي: $P(1, 1)$ و$Q(4, 5)$ و$R(5, 1)$. نريد تمثيل المثلث بيانياً وصورته الناتجة عن دوران بزاوية $90^{\circ}$ حول نقطة الأصل. الخطوة الأولى: نكتب القاعدة الجبرية للدوران بزاوية $90^{\circ}$ وهي $(x, y) \rightarrow (-y, x)$. الخطوة الثانية: نطبق القاعدة على الرأس الأول $P(1, 1)$ بضرب الإحداثي $y$ في $1-$ والتبديل لنحصل على الصورة $P'(-1, 1)$. الخطوة الثالثة: نطبق القاعدة على الرأس الثاني $Q(4, 5)$ لنحصل على الصورة $Q'(-5, 4)$. الخطوة الرابعة: نطبق القاعدة على الرأس الثالث $R(5, 1)$ لنحصل على الصورة $R'(-1, 5)$. الخطوة الخامسة: نمثل المثلث الأصلي $PQR$ وصورته الناتجة $P'Q'R'$ في المستوى الإحداثي.

أخطاء شائعة

• الخلط بين اتجاه حركة عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة، حيث يكون الاتجاه الأساسي هو عكس عقارب الساعة إذا لم يُذكر غير ذلك، والقياس السالب يعني الدوران في اتجاه عقارب الساعة.
• نسيان تبديل موقعي الإحداثيين $x$ و$y$ في دورتي $90^{\circ}$ و$270^{\circ}$ والاكتفاء بتغيير الإشارات.
• تطبيق قاعدة دوران نقطة الأصل على مراكز دوران أخرى تقع خارج نقطة الأصل.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما إحداثيات صورة النقطة $J(3, -7)$ الناتجة عن دوران بزاوية $270^{\circ}$ حول نقطة الأصل؟ الإجابة: نطبق قاعدة دوران $270^{\circ}$ وهي $(x, y) \rightarrow (y, -x)$. نعوض بالنقطة $(3, -7)$ فنضرب الإحداثي $x$ (وهو $3$) في $1-$ ليصبح $-3$ ونضعه في مكان $y$، ونضع الإحداثي $y$ الأصلي (وهو $-7$) في مكان $x$، لتصبح الإحداثيات الجديدة $(-7, -3)$. السؤال الثاني: إذا كان لديك إحداثيات متوازي الأضلاع $FGHJ$ حيث $F(2, 1)$ و$G(7, 1)$ و$H(6, -3)$ و$J(1, -3)$، فما هي صورته الناتجة عن دوران بزاوية $180^{\circ}$ حول نقطة الأصل؟ الإجابة: نطبق قاعدة دوران $180^{\circ}$ وهي $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$ بضرب كلا الإحداثيين لكل رأس في $1-$؛ فتصبح إحداثيات الرؤوس الجديدة هي $F'(-2, -1)$ و$G'(-7, -1)$ و$H'(-6, 3)$ و$J'(-1, 3)$.