الإزاحة (الانسحاب)

الانسحاب هو تحويل هندسي ينقل كل نقطة من الشكل مسافة محددة في اتجاه واحد دون تدويره. فكر في جندي يتقدم عدة خطوات للأمام؛ كل جزء من جسمه يتحرك بالمسافة نفسها وفي الاتجاه نفسه. في المستوى الإحداثي، نعبر عن الإزاحة بالقاعدة $(x, y) \to (x + a, y + b)$ حيث يمثل $a$ الحركة الأفقية و$b$ الحركة الرأسية. فمثلاً، النقطة $(-2, 3)$ عندما تُزاح وفق القاعدة $(x, y) \to (x + 7, y + 1)$ تصبح إحداثياتها الجديدة $(-2 + 7, 3 + 1)$ أي $(5, 4)$، وهذا ينطبق على جميع رؤوس أي شكل هندسي نرغب في إزاحته بيانيا.

الفكرة الأساسية

الانسحاب هو تحويل هندسي ينقل كل نقطة من الشكل المسافة نفسها وفي الاتجاه نفسه دون تدوير الشكل. تخيل فرقة عسكرية تتحرك في الاستعراض؛ كل فرد يتحرك المسافة نفسها وبالاتجاه نفسه.

الشرح

عندما ننقل شكلاً هندسياً في المستوى الإحداثي، فإننا نستخدم قاعدة جبرية واضحة لكل نقطة. إذا أردنا إزاحة نقطة ما أفقياً بمقدار $a$ ورأسياً بمقدار $b$، فإننا نستخدم القاعدة: $(x, y) \to (x + a, y + b)$. إذا كانت $a$ موجبة، فالإزاحة تكون إلى اليمين، وإذا كانت سالبة، فالإزاحة إلى اليسار. وإذا كانت $b$ موجبة، فالإزاحة تكون إلى الأعلى، وإذا كانت سالبة، فالإزاحة إلى الأسفل. الإزاحة تعتبر من تحويلات التطابق، فهي تحافظ على الأبعاد وقياسات الزوايا.

مثال محلول خطوة بخطوة

مثل بيئياً الشكل وصورته الناتجة عن الإزاحة المعطاة: مثلث إحداثيات رؤوسه هي $E(-7, -1)$ و$F(-4, -4)$ و$G(-3, -1)$ وفق القاعدة: $(x, y) \to (x + 2, y + 5)$. الخطوة ١: نفهم القاعدة. القاعدة $(x, y) \to (x + 2, y + 5)$ تعني إضافة $2$ إلى الإحداثي السيني لكل نقطة وإضافة $5$ إلى الإحداثي الصادي. الخطوة ٢: نطبق القاعدة على كل رأس من الرؤوس:

• رأس $E(-7, -1)$ يصبح $E'(-7 + 2, -1 + 5)$ أي $E'(-5, 4)$.
• رأس $F(-4, -4)$ يصبحสื่อ $F'(-4 + 2, -4 + 5)$ أي $F'(-2, 1)$.
• رأس $G(-3, -1)$ يصبح $G'(-3 + 2, -1 + 5)$ أي $G'(-1, 4)$. الخطوة ٣: نرسل النقاط الأصلية والصورة في المستوي الإحداثي لنحصل على المثلث الجديد.

أخطاء شائعة

• الخلط بين إشارات الاتجاه: اعتبار إشارة السالب في $a$ حركة إلى اليمين بدلاً من اليسار، أو العكس.
• تطبيق الإزاحة على إحداثي واحد وترك الآخر دون تغيير.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد إحداثيات صورة النقطة $P(3, -5)$ الناتجة عن الإزاحة وفق القاعدة: $(x, y) \to (x - 3, y + 1)$. الإجابة: النقطة الناتجة هي $(3 - 3, -5 + 1)$ وتساوي $(0, -4)$.

السؤال الثاني: صف حركة قطعة نقود تم تحريكها من الموضع $A$ إلى الموضع $B$ إذا كانت النقطة $A$ تقع عند الإحداثي $(1, 2)$ والصورة $B$ تقع عند $(5, 6)$. ما هي قاعدة الإزاحة؟ الإجابة: لحساب قاعدة الإزاحة، نكتب المعادلتين: $1 + a = 5$ إذن $a = 4$، و$2 + b = 6$ إذن $b = 4$. وقاعدة الإزاحة هي $(x, y) \to (x + 4, y + 4)$، أي إزاحة بمقدار $4$ وحدات إلى اليمين و$4$ وحدات إلى الأعلى.