الانعكاس

الانعكاس هو تحويل هندسي يقلب الشكل حول مستقيم يسمى محور الانعكاس. الفكرة الأساسية تقوم على أن تكون كل نقطة وصورتها على نفس البعد عن محور الانعكاس، وتكون القطعة المستقيم الواصلة بين النقطة وصورتها عمودية على هذا المحور. في المستوى الإاحداثي، إذا أردت انعكاس نقطة $(x, y)$ حول محور $x$ فإن القاعدة هي $(x, -y)$ حيث تضرب إحداثي $y$ في سالب واحد، وإذا كان الانعكاس حول محور $y$ فإن القاعدة هي $(-x, y)$ حيث تضرب إحداثي $x$ في سالب واحد، أما الانعكاس حول المستقيم $y = x$ فيكون بتبديل الإحداثيين لتصبح القاعدة $(y, x)$. مثال سريع: نقطة $(2, 3)$ انعكاسها حول محور $x$ هو $(2, -3)$.

الفكرة الأساسية

الانعكاس هو تحويل هندسي يقلب الشكل حول مستقيم يُسمى محور الانعكاس. إذا نظرت إلى مرآة، فالصورة التي تراها هي انعكاس لشكلِك؛ المسافة بينك وبين المرآة تساوي تماماً المسافة بين صورتك والمرآة. في هذا الدرس ستتعلم كيف ترسم صورة أي شكل بالانعكاس هندسياً، وكذلك باستخدام قواعد المستوى الإحداثي.

الشرح

لكي ترسم انعكاس نقطة لا تقع على محور الانعكاس، ارسم من هذه النقطة عموداً يصل إلى محور الانعكاس، ثم قس المسافة نفسها في الجهة الأخرى وضع نقطة الصورة. أما إذا كانت النقطة واقعة على محور الانعكاس نفسه، فإنها تبقى ثابتة ولا تتغير وتسمى نقطة ثابتة. في المستوى الإحداثي، لدينا ثلاث قواعد أساسية للانعكاس:

1. الانعكاس حول محور $x$: اضرب إحداثي $y$ في سالب واحد، فتكون القاعدة $(x, y) o (x, -y)$.
2. الانعكاس حول محور $y$: اضرب إحداثي $x$ في سالب واحد، فتكون القاعدة $(x, y) o (-x, y)$.
3. الانعكاس حول المستقيم $y = x$: بدّل موضعي الإحداثيين، فتكون القاعدة $(x, y) o (y, x)$.

مثال محلول خطوة بخطوة

لنفترض أن لدينا مثلثاً رؤوسه $A(-5, 3)$ و $B(2, 0)$ و $C(1, 2)$، والمطلوب رسم صورته بالانعكاس حول محور $x$. الخطوة الأولى: تذكر قاعدة الانعكاس حول محور $x$ وهي ضرب إحداثي $y$ في سالب واحد، أي $(x, y) o (x, -y)$. الخطوة الثانية: طبق القاعدة على رأس المثلث الأول $A(-5, 3)$، اترك السينات كما هي واضرب الصادات في سالب واحد لتصبح الصورة $A'(-5, -3)$. الخطوة الثالثة: طبق القاعدة على الرأس الثاني $B(2, 0)$، بما أن الصفر ضربه سالب واحد يساوي صفراً، تصبح الصورة $B'(2, 0)$ وهي نقطة ثابتة لأنها على المحور. الخطوة الرابعة: طبق القاعدة على الرأس الثالث $C(1, 2)$، فتصبح الصورة $C'(1, -2)$. الخطوة الخامسة: مثّل النقاط الجديدة على المستوى الإحداثي وصِل بينها لتتكون صورة المثلث الناتجة.

أخطاء شائعة

• الخلط بين إشارات القواعد، مثل ضرب إحداثي $x$ بدلاً من $y$ عند الانعكاس حول محور $x$.
• نسيان أن النقاط التي تقع على محور الانعكاس تبقى كما هي ولا تتغير إحداثياتها.
• الخطأ في رسم العمود المنصف للمسافة بين النقطة ومحور الانعكاس عند الرسم الهندسي بالفرجار.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما إحداثيات صورة النقطة $(3, 4)$ الناتجة عن انعكاسها حول محور $y$؟ الإجابة: $(-3, 4)$، لأننا ضربنا إحداثي $x$ في سالب واحد. السؤال الثاني: ما إحداثيات صورة النقطة $(-2, 5)$ الناتجة عن انعكاسها حول المستقيم $y = x$؟ الإجابة: $(5, -2)$، لأننا قمنا بتبديل مكاني الإحداثيين.