عناصر المثلثات المتشابهة (٢)

يقوم درس عناصر المثلثات المتشابهة على إيجاد الأطوال المجهولة في المثلثات المتشابهة أو عند تنصيف زاوية داخل مثلث، باستخدام التناسب بين الأطوال المتناظرة. أهم ما فيه استخدام نظرية منصف الزاوية في مثلث والتي تنص على أن منصف الزاوية في مثلث يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين مستقيمتين أطوالهما متناسبة مع طولي الضلعين الآخرين. كمثال سريع، إذا كان منصف زاوية يقسم الضلع المقابل إلى جزأين طوليهما x و 12، وكان طولا الضلعين الآخرين 28 و 14، فنكتب التناسب $\frac{x}{28 - x} = \frac{12}{14}$ ونحل المعادلة لإيجاد قيمة x المجهولة.

الفكرة الأساسية

تعتمد الفكرة الأساسية لدرس عناصر المثلثات المتشابهة على الربط بين أطوال الأجزاء داخل المثلثات المتشابهة أو تلك الناتجة عن تنصيف زاوية في مثلث. عندما تتشابه مثلثات، فإن أطوال أضلاعها متناسبة، ويمكننا استخدام هذا التناسب لإيجاد أي طول مجهول، مثل استخدام نظرية منصف الزاوية في مثلث.

الشرح

انظر إلى الشكل الذي يوضح مثلثاً فيه منصف لزاوية. تنص نظرية منصف زاوية في مثلث على أن منصف الزاوية في مثلث يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين مستقيمتين أطوالهما متناسبة مع طولي الضلعين الآخرين. فإذا كان لدينا المثلث WXZ وكان YZ منصفاً للزاوية WZX، فإن التناسب يكتب بالشكل التالي: $\frac{WX}{YW} = \frac{XZ}{YZ}$ أو حسب التسميات المطبوعة في أمثلة الكتاب. عندما نعوض بالأرقام أو المتغيرات مثل x، نستخدم خاصية الضرب التبادلي ثم نبسط المعادلة ونجري عمليات الجمع أو الطرح والقسمة للوصول إلى قيمة المجهول.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قيمة المتغير x في الشكل الذي يحتوي على مثلث أطوال أضلاعه معلومة وفيه منصف زاوية يقسم الضلع المقابل إلى جزأين أحدهما x والآخر 12، وطولا الضلعين الآخرين 28 و 14. الخطوة الأولى: استعمل نظرية منصف زاوية في مثلث لكتابة تناسب الأطوال. نكتب: $\frac{x}{28 - x} = \frac{12}{14}$. الخطوة الثانية: بالتعويض المباشر عن الأطوال المعطاة في الشكل. الخطوة الثالثة: استعمل خاصية الضرب التبادلي، فتصبح المعادلة: $(28 - x)(12) = x \cdot 14$. الخطوة الرابعة: بالتبسيط وفك الأقواس، نحصل على: $336 - 12x = 14x$. الخطوة الخامسة: بإضافة $12x$ لكلا الطرفين لتجميع المتغيرات في طرف واحد، يصبح لدينا: $336 = 26x$. الخطوة الساخنة: بقسمة كلا الطرفين على 26، تنتج القيمة المقربة إلى أقرب جزء من عشرة: $12.9 \approx x$.

أخطاء شائعة

الخطأ الأول: كتابة نسب التناسب بشكل مقلوب، مثل وضع جزء الضلع المقابل في البسوط بدلاً من مطابقة الضلع المجاور له بدقة. الخطأ الثاني: نسيان طرح الجزء المجهول من الطول الكلي للضلع المقابل عندما يكون معطى كطول كامل ومقسماً إلى جزأين أحدهما مجهول x والآخر عدد معلوم. الخطأ الثالث: أخطاء الحسابات البسيطة عند إجراء الضرب التبادلي ونقل المتغيرات بين طرفي المعادلة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد قيمة x في مثلث حيث يقسم منصف الزاوية الضلع المقابل إلى جزأين طوليهما 8 و 10، وطول أحد الضلعين الآخرين المجاورين يساوي x والضلع الآخر يساوي 13.5. الإجابة: نكتب التناسب $\frac{8}{x} = \frac{10}{13.5}$، وبالضرب التبادلي يصبح $10x = 108$، إذن $x = 10.8$. السؤال الثاني: أوجد قيمة المتغير في مثلث متشابه إذا كانت نسبة التشابه بين ضلعين متناظرين هي $\frac{3}{4}$ وكان ضلع المثلث الأكبر يساوي 36. الإجابة: نكتب التناسب $\frac{w}{36} = \frac{3}{4}$، وبحل المعادلة ينتج أن $4w = 108$، إذن $w = 27$.