عناصر المثلثات المتشابهة (١)

يقوم هذا الدرس على فكرة أساسية مفادها أن تشابه مثلثين لا يقتصر على أضلاعهم و زواياهم فقط، بل يمتد ليشمل جميع قطعهم المستقيمة الخاصة. فإذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين أي ارتفاعين متناظرين، أو أي قطعتين منصفَتين لزوايا متناظرة، أو أي قطعتين متوسطتين متناظرتين، تساوي تماماً النسبة بين أي ضلعين متناظيرين فيهما. إضافة إلى ذلك، يوضح الدرس نظرية منصف الزاوية في المثلث، والتي تنص على أن منصف زاوية في مثلث يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين مستقيمتين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين. كمثال سريع، إذا كان لدينا مثلثان متشابهان وكانت النسبة بين ضلعين متناظيرين هي rac{3}{5}، فإن النسبة بين أي ارتفاعين متناظرين فيهما ستكون أيضاً rac{3}{5}، ومثلها القطع المتوسطة ومنصفات الزوايا.

الفكرة الأساسية

إذا تشابه مثلثان، فإن أطوال أضلاعهما المتناظرة تكون متناسبة. ولا يتوقف هذا التناسب على الأضلاع وحدها، بل يشمل أيضاً جميع القطع المستقيمة الخاصة داخل هذين المثلثين كالارتفاعات والقطع المنصفة للزوايا والقطع المتوسطة. كما توجد علاقة خاصة بمنصف الزاوية داخل المثلث الواحد تربط بين أجزاء الضلع المقابل وأطوال الضلعين المجاورين.

الشرح

عندما يتشابه مثلثان مثل $riangle ABC ext{ } riangle FGH$، فإن النسبة بين أي ضلعين متناظريْن تكون ثابتة. وتفرع عن هذا التشابه ثلاث نظريات أساسية للقطع المستقيمة:

1. الارتفاعات (نظرية 6.8): إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي كل ارتفاعين متناظرين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظريْن. فإذا كان الارتفاعان هما $AD$ و $FJ$، فنكتب التناسب rac{AD}{FJ} = rac{AB}{FG}.

2. منصفات الزوايا (نظرية 6.9): إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفَتين لكل زاويتين متناظرتين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظريْن.

3. القطع المتوسطة (نظرية 6.10): إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي كل قطعتين متوسطتين متناظرتين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظريْن.

4. نظرية منصف زاوية في مثلث (نظرية 6.11): منصف زاوية في مثلث يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين مستقيمتين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين. فإذا كانت $JM$ منصف زاوية في $riangle JKL$، فإن التناسب يكون rac{KM}{LM} = rac{KJ}{LJ}.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قيمة $x$ في الشكل المجاور إذا كان $riangle ABC ext{ } riangle FDG$، حيث $AP$ و $FQ$ منصفا زاويتين متناظرتين، و طولا الضلعين المتناظريْن $AB$ و $FD$ يساويان $15$ و $12$ على التوالي، وطول $AP$ يساوي $x$ وطول $FQ$ يساوي $8$.

• الخطوة الأولى (كتابة التناسب): بما أن المثلثين متشابهان، فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفَتين تساوي النسبة بين طولي الضلعين المتناظريْن، أي rac{AP}{FQ} = rac{AB}{FD}.
• الخطوة الثانية (التعويض): عوض عن القيم المعطاة في التناسب لتصبح المعادلة rac{x}{8} = rac{15}{12}.
• الخطوة الثالثة (الضرب التبادلي): اضرب طرفين في وسطين لينتج $8 imes 15 = x imes 12$.
• الخطوة الرابعة (التبسيط): بسط المعادلة لتصبح $120 = 12x$.
• الخطوة الخامسة (إيجاد القيمة): اقسم كلا الطرفين على $12$ ليصبح الناتج $10 = x$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين ترتيب القطع المستقيمة في التناسب؛ مثل وضع جزء من المثلث الأول في المقام وجزء من المثلث الثاني في البسط، والصحيح هو توحيد الاتجاه بجعل بسط التناسب دائماً لعنصر المثلث الأول ومقامه لعنصر المثلث الثاني.
• الاعتقاد الخاطئ بأن المثلثين الناتجين عن تقسيم زاوية في مثلث بمنصف زاوية هما مثلثان متشابهان، والصحيح أنهما ليسا متشابهين عموماً رغم وجود تناسب في أضلاعهما.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

• السؤال الأول: أوجد قيمة $x$ في مثلثين متشابهين إذا كانت النسبة بين ارتفاعين متناظرين هي rac{x}{8} والنسبة بين ضلعين متناظريْن هي rac{15}{12}؟
• الإجابة: $x = 10$.
• السؤال الثاني: إذا كان لدينا مثلث طُبق عليه نظرية منصف الزاوية وكان منصف الزاوية يقسم الضلع المقابل إلى جزأين طولهما $x$ و $18 - x$， وطولا الضلعين المجاورين هما $6$ و $14$， فما قيمة $x$؟
• الإجابة: $5.4$.