المثلثات المتشابهة

يقوم درس المثلثات المتشابهة على فكرة أن المثلثين المتشابهين لهما الشكل نفسه وإن اختلفت أطوال أضلاعهما، بشرط أن تتطابق زواياهما المتناظرة وتتناسب أطوال أضلاعهما المتناظرة. نتحقق من تشابه مثلثين بثلاث طرائق أساسية: أولها مسلمة التشابه بزاويتين (AA) إذا تطابقت زاويتان في مثلث مع نظيرتهما في مثلث آخر، وثانيها نظرية التشابه بثلاثة أضلاع (SSS) إذا تناسبت جميع أطوال الأضلاع المتناظرة، وثالثها نظرية التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS) إذا تناسب طولا ضلعين وتطابقت الزاوية المحصورة بينهما. مثال سريع: إذا كان لدينا مثلثان زاويتاهما متطابقتان، فهما متشابهان مباشرة وفق مسلمة (AA)، ويمكننا بعد ذلك إيجاد الأطوال المجهولة للأضلاع باستعمال التناسب بين الأضلاع المتناظرة.

الفكرة الأساسية

يتناول الدرس كيفية الحكم على تشابه مثلثين واستعمال هذا التشابه لإيجاد الأطوال المجهولة في الواقع أو في المسائل الرياضية. المثلثان المتشابهان هما مثلثان تتطابق زواياهما المتناظرة وتتناسب أطوال أضلاعهما المتناظرة.

الشرح

لإثبات أن مثلثين متشابهان، لا نحتاج إلى قياس جميع الزوايا والأضلاع، بل نستعمل إحدى الحالات الثلاث الآتية: ١) مسلمة التشابه بزاويتين (AA): إذا طابقت زاويتان في مثلث زاوية في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان. فمثلاً في المثلثين $\Delta ABC$ و$\Delta FGH$، إذا كانت زاوية $A$ تطابق زاوية $F$ وزاوية $B$ تطابق زاوية $G$ (نكتب $\angle A \cong \angle F$ و$\angle B \cong \angle G$)، فإن $\Delta ABC \sim \Delta FGH$. ٢) نظرية التشابه بثلاثة أضلاع (SSS): إذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة لمثلثين متناسبة، فإن المثلثين متشابهان. أي أنه إذا كان $\frac{JK}{MP} = \frac{KL}{PQ} = \frac{LJ}{QM}$، فإن $\Delta JKL \sim \Delta MPQ$. ٣) نظرية التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS): إذا كان طولا ضلعين في مثلث متناسبين مع طولي الضلعين المناظرين لهما في مثلث آخر وكانت الزاويتان المحصوران بينهما متطابقتين، فإن المثلثين متشابهان. أي أنه إذا كان $\frac{RS}{XY} = \frac{ST}{YZ}$ وزاوية $S$ تطابق زاوية $Y$ ($\angle S \cong \angle Y$)، فإن $\Delta RST \sim \Delta XYZ$.

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا كان لديك مثلثان $\Delta MNQ$ و$\Delta MOP$ متشابهان، وكان طول $MN = 9$، وطول $MO = 12$، وطول $MQ = 15$، وطول $MP = 15 + x$، والمطلوب إيجاد قيمة $x$. الخطوة الأولى: بما أن المثلثين متشابهان، فإن الأضلاع المتناظرة متناسبة، ونكتب التناسب الآتي: $\frac{MN}{MO} = \frac{MQ}{MP}$. الخطوة الثانية: عوض بالقيم المعطاة في التناسب: $\frac{9}{12} = \frac{15}{15 + x}$. الخطوة الثالثة: استعمل خاصية الضرب التبادلي لحل التناسب: $9 \cdot (15 + x) = 12 \cdot 15$. الخطوة الرابعة: بسط المعادلة: $135 + 9x = 180$. الخطوة الخامسة: اطرح $135$ من الطرفين: $9x = 45$. الخطوة السادسة: اقسم الطرفين على $9$ لتجد القيمة: $x = 5$.

أخطاء شائعة

• كتابة رؤوس المثلثات المتشابهة بترتيب خاطئ لا يوضح تناظر الروايا والأضلاع بدقة.
• الخلط بين تطابق المثلثات الذي يتطلب تساوي الأضلاع تماماً، وتشابه المثلثات الذي يتطلب تناسب الأضلاع وتطابق الزوايا فقط.
• نسيان إضافة طول القطع المستقيمة الموصولة مثل كتابة $15 + x$ بشكل خاطئ أو فصل أجزاء الضلع بشكل غير دقيق عند استعمال نظرية (SAS) أو (SSS).

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حدد ما إذا كان المثلثان في الشكل متشابهين أم لا إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة بقياسات $45^\circ$ و $85^\circ$ و $50^\circ$ في كلا المثلثين، ووضح إجابتك. الإجابة: نعم، المثلثان متشابهان وفق مسلمة التشابه بزاويتين (AA) لأن الزوايا المتناظرة متطابقة. السؤال الثاني: إذا كان $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ وكان طول $AB = 3$، وطول $BC = 4$، وطول $XY = 6$، فما طول $YZ$؟ الإجابة: باستعمال التناسب $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$، نكتب $\frac{3}{6} = \frac{4}{YZ}$، وبالضرب التبادلي يصبح طول $YZ = 8$.