صفحة ٧٢
انظر إلى صورتي الحاسوب في الأعلى. لو غيرت حجم الصورة دون المحافظة على الأبعاد، لتشوهت الصورة؛ لأن الشكلين غير متشابهين هندسياً. ندخل الآن إلى مفهوم المضلعات المتشابهة. يتشابه مضلعان إذا وفقط إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وأطوال أضلعهما المتناظرة متناسبة. تأمل المثلثين و في مثال ١. عندما تكتب عبارة التشابه ، فإن ترتيب الرؤوس مهم للغاية، فهو يحدد لك أن الزاوية F تطابق الزاوية J، والزاوية G تطابق الزاوية K، والزاوية H تطابق الزاوية L. وكذلك يحدد التناسب بين الأضلاع المتناظرة، مثل النسبة بين الضلع FG والضلع JK التي تساوي النسبة بين GH وKL وتساوي HF على LJ. انظر إلى الرمز فهو يعني يشابه، بينما الرمز يعني لا يشابه. في فقرة تحقق من فهمك ١، اكتب زوج الزوايا المتطابقة وتناسب الأضلاع للمضلعين المتشابهين و بنفس الترتيب الدقيق.
صفحة ٧٣
النسبة بين طولي ضلعين متناظير في مضلعين متشابهين تسمى معامل التشابه، أو عامل المقياس. انظر إلى المثلثين في أعلى الصفحة، معامل تشابه إلى يساوي أي 2. بينما معامل تشابه إلى يساوي أي . في مثال ٢ من واقع الحياة، يريد كمال معرفة ما إذا كانت صور قطة خلفية للحاشة تشابه الصورة الأصلية ذات الأبعاد 8 في 10. لاختبار تناسب المستطيلين، نقارن الزوايا المتناظرة أولاً وهي قائمة في الشكلين. ثم نقارن نسب أطوال الأضلاع المتناظرة. في الفقرة a، النسبة لا تساوي ، لأن الضرب التبادلي يعطي نواتج مختلفة، إذن الصورتان غير متشابهتين. أما في الفقرة b، فالنسب متطرفة وتساوي ، إذن الصورتان متشابهتان ومعامل التشابه يساوي . في سؤال تحقق من فهمك ٢، استخدم الطريقة نفسها لتحديد إن كان المثلثان متشابهين أم لا.
صفحة ٧٤
انظر إلى المثال ٣. إذا كان لديك مضلعان متشابهان مثل ، فيمكنك استعمال تناسب أضلاعهما لإيجاد القيم المجهولة مثل x أو y. في الفقرة a، بما أن الأضلاع متناسبة، اكتب التناسب بين الضلع CD من المضلع الأول والضلع WY من المضلع الثاني، ليساوي نسبة الضلع DF إلى الضلع YZ. عوض بالأرقام: . استخدم خاصية الضرب التبادلي، فاضرب ليساوي . ينتج لديك المعادلة . اقسم كلا الطرفين على 6 لتجد أن . وفي الفقرة b، اتبع ذات الخطوات تماماً مستخدماً الضلعين FA وZV لإيجاد قيمة المتغير y. تمرن على فقرة تحقق من فهمك ٣ لإيجاد القيم المجهولة x وy. وفي أسفل الصفحة، تظهر لنا نظرية 6.1 حول محيطي المضلعين المتشابهين، والتي تنص على أنه إذا تشابه مضلعان، فإن النسبة بين محيطيهما تساوي معامل التشابه بينهما.
صفحة ٧٥
انظر إلى مثال ٤. إذا علمنا أن المضلعين المتشابهين ، وأن معامل تشابه الأول إلى الثاني يساوي ، نريد إيجاد محيط المضلع افترض أن محيطه يساوي x. تذكر أولاً أن المحيط هو المسافة حول الشكل ومجموع أطوال أضلاعه. بما أن النسبة بين محيطي مضلعين متشابهين تساوي معامل التشابه، إذن محيط مقسوماً على محيط يساوي . بالتعويض بالمعطيات، محيط الشكل الأول هو 30، ومحيط الشكل الثاني هو x. إذن . استخدم خاصية الضرب التبادلي، فاضرب 3 في 30 ليساوي 4 ضرب x، أي . بقسمة كلا الطرفين على 4، تجد أن x يساوي 22.5، وهو محيط . حل الآن فقرة تحقق من فهمك ٤ بنفس الطريقة. وفي قسم تأكد، ابدأ بحل التمارين من ١ إلى ٤ بتطبيق ما تعلمته عن كتابة عبارات التشابه وتحديد الزوايا المتطابقة وتناسب الأضلاع ومعامل التشابه.
صفحة ٧٦
تابع حل التمارين في هذه الصفحة. في السؤالين ٥ و٦ من تمرير مثال ٣، لديك مضلعان متشابهان وعليك إيجاد قيمة المتغير x. اكتب تناسب أطوال الأضلاع المتناظرة بدقة، ثم استخدم الضرب التبادلي لحل المعادلة وإيجاد قيمة x. في السؤال ٧، انظر إلى مخطط الشقة وتطبيق مثال ٤ على التصاميم الهندسية، حيث عرض الشرفة في المخطط هو 1 إنش وطولها 1.75 إنش، وإذا كان طول الشرفة الحقيقي 15 قدماً، فالمطلوب إيجاد محيطها الحقيقي باستخدام تناسب الأبعاد. في قسم تدرب وحل المسائل، تمرن على السؤالين ٨ و٩ لكتابة جميع الزوايا المتطابقة وتناسب الأضلاع لزوجين من المضلعات المتشابهة. وفي الأسئلة ١٠ و١١ و١٢ و١٣، حدد ما إذا كان المضلعان متشابهين أم لا مع ذكر السبب، أو أوجد قيمة x للمضلعات المتشابهة. في السؤال ١٤، استخدم معطيات طول وعرض المستطيلين لإيجاد معامل التشابه ومحيط كل منهما.
صفحة ٧٧
تابع حل المسائل. في السؤالين ١٥ و١٦، أوجد محيط المثلث المحدد في كل رسم بالاعتماد على تشابه المثلثات وتناسب أضلاعها. في السؤالين ١٧ و١٨، استخدم معامل التشابه المعطى بين مستطيلين أو مربعين مع محيط أحدها لإيجاد محيط الآخر. انظر إلى الشكل الذي يضم المثلثات المتشابهة و و في الأسئلة من ١٩ إلى ٢٢، وحدد الأضلاع أو الزوايا التي تناظر الأضلاع أو الزوايا المعطاة. في السؤالين ٢٣ و٢٤، أوجد قيمة كل متغيير x أو y في المضلعات المتشابهة باستعمال تساوي الزوايا أو تناسب الأضلاع. في السؤال ٢٥، طبق مفاهيم تشابه الصور وعرض الشرائح باستخدام أبعاد الشريحة وجهاز العرض. في السؤالين ٢٦ و٢٧، استخدم الهندسة الإحداثية ورؤوس المستطيلات المعطاة لإيجاد أطوال الأضلاع وتحديد ما إذا كان المستطيلان متشابهين أم لا مع كتابة عبارة التشابه ومعامل التشابه وتوضيح الإجابة بالخطوات.
صفحة ٧٨
في هذه الصفحة مجموعة من أسئلة التفكير والبرهان. في الأسئلة من ٢٨ إلى ٣٣، حدد ما إذا كان المضلعان في كل حالة متشابهين دائماً أو أحياناً أو غير متشابهين أبداً مع توضيح الإجابة. في السؤال ٣٤، اكتب برهاناً حراً للنظرية 6.1 في حالة المثلثات، بحيث تبدأ بالمعطيات عن تشابه المثلثين ونسبة أضلاعها وتثبت أن النسبة بين محيطيهما تساوي أيضاً. في السؤال ٣٥، تعامل مع تغيير الأبعاد في المثلثين وبين أن نسبة المحيطين تساوي نسبة الأضلاع المتناظرة، ثم أجب عما يحدث لو أضيف لطول كل ضلع 6 وحدات. في السؤال ٣٦، ارسم مربعات مختلفة الأبعاد واحسب نسب أضلاعها وضع تخميناً حول تشابه جميع المربعات. في قسم مسائل مهارات التفكير العليا، فكر في السؤال ٣٧ لتحديد قيمة x التي تجعل المستطيلين متشابهين، وفي السؤال ٣٨ أعط مثالاً مضاداً للعبارة المعطاة. أجب عن أسئلة البراهين والتبرير في الأسئلة ٣٩ إلى ٤٢ بدقة واعتماداً على خصائص التشابه.
صفحة ٧٩
هذه الصفحة مخصصة لتدريب على اختبار ومراجعة تراكبية. في السؤال ٤٣، إذا كان المضلعان و متشابهين، ومعامل تشابه الأول إلى الثاني هو 4 إلى 3، وكان طول ضلع يساوي 8 سنتمترات، فما طول ضلع ؟ استخدم التناسب لحل هذه المسألة واختر الإجابة الصحيحة من الخيارات الأربعة المتاحة. في السؤال ٤٤، مستطيلان متشابهان معامل تشابههما 3 إلى 5، ومحيط المستطيل الكبير 65 متراً، فما محيط المستطيل الصغير؟ اكتب التناسب بين المحيطين وعوض بالقيم لإيجاد المطلوب. في قسم المراجعة التراكبية، حل معادلات التناسب في الأسئلة من ٤٥ إلى ٤٧، وأوجد إحداثيات نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع في السؤال ٤٨، واكتب الفرض الذي تبدأ به برهاناً غير مباشر في السؤالين ٤٩ و٥٠، واستخدم منصف زاوية الرأس في السؤال ٥١، وأوجد قياس الزوايا في الشكل المجاور من ٥٢ إلى ٥٤. في النهاية، استعد للدرس اللاحق بحل أسئلة الجبر في السؤالين ٥٥ و٥٦ لإيجاد قيمة x وطول كل ضلع.
