صفحة ٤٤
انظر إلى الشكل: المعين هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متطابقة. وبما أن المعين متوازي أضلاع، فهو يرث جميع خصائصه. تأمل النظرية 5.15 التي تقرر أنه إذا كان متوازي الأضلاع معيناً، فإن قطريه متعامدان، أي أن زاوية التقاطع بين القطرين قياسها تسعون درجة، وكتبت رمزياً . انتقل إلى النظرية 5.16 التي تنص على أن كل قطرة في المعين تنصف كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما، وتأمل الترقيم للزوايا من واحد إلى ثمانية في متوازي الأضلاع لتجد أن وهكذا لبقية الزوايا. اقرأ البرهان الحر للنظرية 5.15 في الأسفل؛ حيث يثبت تطابق المثلثين و$ باستخدام حالة تطابق الاضلاع الثلاثة من خلال كون أضلاع المعين متطابقة، ثم يستنتج تعامد القطرين من تطابق الزوايا المجاورة على مستقيم.
صفحة ٤٥
انظر إلى المثال الأول لاستعمال خصائص المعين . في الفرع (a)، بما أن القطر ينصف الزاوية وقياسها ， فإن قياس نصفها يساوي نصف هذا العدد أي . وبما أن قطري المعين متعامدان، فإن المثلث قائم الزاوية في وقياس زاويته . اجمع زوايا المثلث لتجد أن مجموعها ， وبطرح المجموع من تنتج زاوية . في الفرع (b)، استخدم خاصية تطابق أضلاع المعين لتكتب المعادلة الجبرية ， وعوض بالقيم ثم حل المعادلة بطرح وإضافة لتجد أن والقيمة . تأمل في منتصف الصفحة إرشادات الدراسة التي توضح أن كل مربع معين وليس كل معين مربعاً، وفي الأسفل ملخص المفهوم الذي يربط بين متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين.
صفحة ٤٦
تأمل النظريات الأربع الجديدة الخاصة بالشروط الكافية ليكون الشكل الرباعي معيناً أو مربعاً. تنص النظرية 5.17 على أنه إذا كان قطرا متوازي أضلاع متعامدين فإنه معين، وهو عكس النظرية 5.15. وتنص النظرية 5.18 على أنه إذا نصف قطر متوازي أضلاع إحدى الزاويتين فإنه معين، وهو عكس النظرية 5.16. أما النظرية 5.19 فتقول: إذا كان ضلعان متتاليان في متوازي الأضلاع متطابقين فإنه معين، وتختتم النظرية 5.20 بالقول إن الشكل الرباعي إذا كان مستطيلاً ومعيناً فإنه مربع. انظر إلى المثال الثاني لتطبيق هذه الشروط؛ ففي متوازي الأضلاع بما أن متطابق الضلعين فإن ， وهذان ضلعان متتاليان، إذن بحسب النظرية 5.19 الشكل معين. في سؤال تحقق من فهمك رقم 2، انظر للمعطيات التي تذكر أن عمود منصف لـ والعكس صحيح، والمطلوب إثبات أن الشكل مربع بالاستفادة من تعامد القطرين وتطابق الضلعين في المثلث .
صفحة ٤٧
انظر إلى تطبيق من واقع الحياة في المثال الثالث حول علم الآثار وكيف يحدد الباحثون مناطق التنقيب باستخدام هندسة المربعات والمعينات. إذا وضع العالم أوتاراً بطول متر واحد لكل ضلع لتكوين شكل رباعي أطوال أضلاعه متساوية ، فبما أن كل ضلعين متقابلين متطابقان فهو متوازي أضلاع، وبما أن الأضلاع المتتالية متطابقة فهو معين. وإن استطاع العالم بيان أن قطري هذا الشكل متطابقان بحسب النظرية 5.20، فإن الشكل يكون مستطيلاً ومعيناً في آن واحد، وبالتالي يصبح مربعاً دقيقاً لموقع البحث. في سؤال تحقق من فهمك رقم 3، انظر إلى فرع (A) وتأمل قطري القطعة الصفراء؛ بما أنهما متعامدان، فهل يمكنك استنتاج أن القطعة صفراء معين؟ راجع شروط النظرية 5.17. وفي فرع (B)، انظر إلى الزوايا الأربع للقطعة الخضراء والضلعين الأيسر والسفلي لتحدد إن كان يمكن استنتاج أن القطعة مربعة.
صفحة ٤٨
انظر إلى المثال الرابع لتصنيف الأشكال الرباعية باستخدام الهندسة الإحداثية. المعطيات هي إحداثيات رؤوس الشكل وهي و و و. المطلوب إثبات ما إذا كان الشكل معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً. أولاً، استخدم صيغة المسافة بين نقطتين لمقارنة طولي القطرين و. بالتعويض بالقانون، تجد أن الطول الأول والطول الثاني . بما أن القيمتين غير متساويتين، فالقطران ليسا متطابقين، إذن الشكل ليس مستطيلاً. ثانياً، استخدم صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطران متعامدين؛ ميل يساوي وميل يساوي ، وبما أن حاصل ضرب الميلين يساوي ، فالقطران متعامدان، إذن الشكل معين. اتبع نفس الخطوات في التحقق لتفحص أطوال الأضلاع والميلين الجانبين و وتجد أن حاصل ضرب ميليهما لا يساوي ، لذا الزاوية ليست قائمة، وبذلك الشكل ليس مربعاً.
صفحة ٤٩
هذه الصفحة مخصصة لتمارين تأكد وتدرب وحل المسائل. في التمارين الأولى من 1 إلى 2، استعن بالمعين وخصائصه في إيجاد القياسات المجهولة للزوايا والأطوال مستعيناً بحقيقة أن أضلاع المعين متطابقة وقطريه متعامدان ومنصفان للزوايا. في التمرين 3، اكتب برهاناً ذا عمودين لإثبات أن المعين الذي فيه القطر ينصف وفيه هو معين بالاعتماد على خصائص متوازي الأضلاع والتطابق. في التمارين من 6 إلى 11، حدد ما إذا كان الشكل الرباعي المَعطاة إحداثيات رؤوسه معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً بحسب صيغ الميل والمسافة. في المسائل الكلامية 14 و15، تأمل الأشكال الهندسية في الصور للطرق والزراعة، وطبق شروط المعين والمربع على أطوال الأضلاع والقطران المتعاقدان لتبرير إجابتك.
صفحة ٥٠
تابع حل تمارين الهندسة الإحداثية في المجموعة من 16 إلى 19 لتحديد نوع الأشكال الرباعية بناءً على إحداثيات الرؤوس المعطاة. في التمارين 20 و21 و22 و23، استعن بالمعين حيث المعطيات هي طول الضلع وطول القطعة وقياس الزاوية ، ثم أوجد القياسات المطلوبة مثل أطوال القطع المستقيمة وزيادة زوايا الأقطار مستخدماً تعامد القطرين وتطابقهما. في التمارين من 24 إلى 27، استعمل المربع وطول القطر أو الضلع لإيجاد الأطوال وزوايا التقاطع. في قسم التمارين المتعددة 36، ارسم قطعتين مستقيمتين باستخدام الفرجار والمسطرة لإنشاء طائرة ورقية وشكلين رباعيين و، ثم قس مسافات تقاطع كل قطر وسجل النتائج في الجدول.
صفحة ٥١
هذه الصفحة تحتوي على مسائل مهارات التفكير العليا وتدريبات على الاختبار ومراجعة تراكمية. في التمرين 37 الخاص باكتشاف الخطأ، انظر إلى الشكل الرباعي الذي فيه أقطار متطابقة ， وحلل ما قالته الأسماء لتحديد أي منهما على صواب مع كتابة التبرير. في التمرين 39، احسب مساحة المربع الأكبر التي تساوي وحدة مربعة، ومساحة المثلث التي تساوي وحدة، مستعيناً بتعامد وطول الضلع لتجد طول القطعة المستقيمة . في قسم تدريب على الاختبار، أجب عن السؤال 42 باختيار القيمة الصحيحة لطول في المعين مستخدماً خصائص تعامد القطرين ونظرية فيثاغورس. في قسم المراجعة التراكمية، أوجد القياسات المجهولة للمستطيل والمثلثات بناءً على الدروس السابقة.
