المستطيل

يقوم الدرس على دراسة خصائص المستطيل باعتباره متوازي أضلاع له زوايا أربع قوائم. أهم خصائصه أن قطريه متطابقان وينصف كل منهما الآخر، بالإضافة إلى الزوايا المتطابقة والمتحالفة الناتجة عن توازيه. كما يتعلم الطالب إثبات أن متوازي الأضلاع مستطيل إذا تطابق قطراه، واستخدام المستوى الإحداثي للتحقق من المستطيل بصيغتي المسافة والميل. على سبيل المثال، في حديقة مستطيلة الشكل إذا كان طول القطر PR يساوي 200 م، فإن القطر الآخر QS يساوي 200 م أيضاً، وطول نصف القطر QT يساوي نصف القطر الكلي أي 100 م.

الفكرة الأساسية

المستطيل هو في الأصل متوازي أضلاع، لكنه يمتاز عنه بأن زواياه الأربع قوائم وقطراه متطابقان. يعتمد الدرس على استثمار هذه الخصائص لحساب أطوال الأضلاع، وقياسات الزوايا المجهولة باستخدام الجبر، وإثبات أن الشكل الرباعي مستطيل.

الشرح

تعلمنا سابقاً خصائص متوازي الأضلاع، والمستطيل يحملها كلها، ويضيف إليها خصائص تميزه. خصائص المستطيل هي: زواياه الأربع قوائم، وكل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان، وكل زاويتين متقابلتين متطابتان، وكل زاويتين متحالفتين متكاملتان، وقطراه ينصف كل منهما الآخر. بالإضافة إلى ذلك، تنص النظرية 5.13 على أن قطري المستطيل متطابقان. فإذا كان لدينا مستطيل اسمه JKLM فإن القطرين JL وMK متطابقان. والعكس صحيح تماماً حسب النظرية 5.14؛ فإذا كان متوازي الأضلاع قطراه متطابقان، فهو مستطيل حتماً. في الهندسة الإحداثية، نثبت أن الشكل مستطيل بإثبات أنه متوازي أضلاع أولاً، ثم نثبت تطابق قطريه باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين، أو نثبت تعامد الأضلاع المتتالية باستخدام صيغة الميل بحيث يكون حاصل ضرب الميلين يساوي $-1$.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى الشكل في مثال 2 حيث الشكل الرباعي JKLM مستطيل، وفيه قياس زاوية $m\angle KJL = (2x + 4)^\circ$ وقياس زاوية $m\angle JLK = (7x + 5)^\circ$ والمطلوب إيجاد قيمة $x$. الخطوة الأولى: بما أن JKLM مستطيل، فإن زواياه الأربع قوائم، إذن قياس زاوية $m\angle JLM = 90^\circ$. الخطوة الثانية: من مسلمة جمع الزوايا، فإن $m\angle JLM = m\angle KJL + m\angle JLK$. الخطوة الثالثة: بالتعويض عن القياسات، يصبح لدينا المعادلة: $90 = (2x + 4) + (7x + 5)$. الخطوة الرابعة: بجمع الحدود المتشابهة، تصبح المعادلة: $9^x + 9 = 90$. الخطوة الخامسة: نطرح 9 من الطرفين لنحصل على: $9x = 81$. الخطوة الساخنة: نقسم الطرفين على 9، إذن القيمة هي $x = 9$.

أخطاء شائعة

الخطأ الأول: الاعتقاد بأن قطري المستطيل يتعامدان دائماً، والصحيح أنهما ينصف كل منهما الآخر ومتطابقان فقط وليسا متعامدين بالضرورة. الخطأ الثاني: الخلط بين خصائص الزوايا الناتجة عن تقاطع القطرين مع أضلاع المستطيل ونسيان أن زوايا الزوايا الأربع للمستطيل قائمة وليست منصفة للزاوية إلا إذا كان مربعاً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في المستطيل PQRS، إذا كان طول $PR = 200\text{ m}$، فأوجد طول $QT$. الإجابة: بما أن القطرين متطابقان وينصف كل منهما الآخر، فإن $QT = \frac{1}{2} (200) = 100\text{ m}$. السؤال الثاني: في المستطيل DEFG، إذا كان $EG = x + 5$ و$FD = 3x - 7$، فأوجد طول $EG$. الإجابة: بما أن القطري متطابقان إذن $EG = FD$، إذن $x + 5 = 3x - 7$. بطرح $x$ من الطرفين وإضافة 7، يصبح $2x = 12$ إذن $x = 6$. نعوض بقيمة $x$ لإيجاد $EG = 6 + 5 = 11$.