متوازي الأضلاع

يقوم درس متوازي الأضلاع على دراسة خصائص الشكل الرباعي الذي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. وأهم ما فيه خصائص الأضلاع والزوايا والقطران؛ فكل ضلعين متقابلين متطابقان، وكل زوايا متقابلة متطابقة، وكل زوايا متحالفتان متكاملتان، كما أن القطرين ينصف كل منهما الآخر. فمثلاً لو كان لديك متوازي أضلاع فيه ضلع يبلغ طوله $2.5\text{ ft}$، فالضلع المقابل له يطابقه تماماً ويساوي $2.5\text{ ft}$ أيضاً. وإذا علمت قياس إحدى الزوايا وتساوي $55^{\circ}$، فالزاوية المتحالفة معها تكملها ليصل مجموع قياسهما إلى $180^{\circ}$، فتكون الزاوية الأخرى تساوي $125^{\circ}$.

الفكرة الأساسية

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. الفكرة تقوم على استثمار هذا التوازي لاستنتاج علاقات ثابتة بين أطوال أضلاعه، وقياسات زواياه، وخصائص قطريه، والربط بينها وبين الإحداثيات في المستوي لتسهيل حل المسائل الهندسية والجبرية.

الشرح

لكل متوازي أضلاع خصائص أساسية نستخدمها في الحل:

1. الأضلاع: كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متطابقان. ففي متوازي الأضلاع $JKLM$ مثلاً، الضلع $JK$ يطابق الضلع $ML$ أي $JK \cong ML$، والضلع $JM$ يطابق الضلع $KL$ أي $JM \cong KL$.
2. الزوايا: كل زويتين متقابلتين متطابقتان، مثل $\angle J \cong \angle L$ و $\angle K \cong \angle M$. وكل زويتين متحالفتين متكاملتان، أي مجموع قياسيهما $180^{\circ}$ مثل $x^{\circ} + y^{\circ} = 180^{\circ}$. وإذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة، فإن زواياه الأربع قوائم.
3. القطران: قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر، مثل $AP \cong PC$ و $DP \cong PB$. وكل قطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين مثل $\triangle ABD \cong \triangle CDB$.
4. الإحداثيات: يمكنك إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع باستخدام صيغة نقطة المنتصف: $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$.

مثال محلول خطوة بخطوة

في متوازي الأضلاع $\square ABCD$ المبين، إذا كان $m\angle A = 55^{\circ}$ و $AB = 2.5\text{ ft}$ و $BC = 1\text{ ft}$، فأوجد $DC$.

• الخطوة الأولى: نحدد العلاقة بين الأضلاع، فكل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متطابقان، إذن $DC \cong AB$.
• الخطوة الثانية: نحول التطابق إلى مساواة بالطول، إذن $DC = AB$.
• الخطوة الثالثة: نعوض بالقيمة المعطاة، وبما أن $AB = 2.5\text{ ft}$، إذن $DC = 2.5\text{ ft}$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين الزوايا المتقابلة والزوايا المتحالفة؛ فالزوايا المتقابلة متطابقة (متساوية القياس)، بينما الزوايا المتحالفة متكاملة (مجموع قياسيهما $180^{\circ}$). وفي القطرين، الاعتقاد بأن القطرين متطابقان دائماً، والصحيح أنهما ينصف كل منهما الآخر دون شرط التطابق.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في متوازي الأضلاع $\square JKLM$، إذا كان $m\angle J = 47^{\circ}$ و $MJ = 8\text{ cm}$، فأوجد $m\angle L$. الإجابة: $m\angle L = 47^{\circ}$ لأن كل زويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع متطابتان. السؤال الثاني: أجد إحداثيي نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع $FGHJ$ الذي إحداثيات رؤوسه هي: $F(-2, 4)$ و $G(3, 5)$ و $H(2, -3)$ و $J(-3, -4)$. الإجابة: نطبق صيغة نقطة المنتصف على القطر $FH$ أو $GJ$ لتصبح الإحداثيات هي $(0, 0.5)$.