زوايا المضلع

يقوم الدرس على حساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية والخارجية للمضلعات. الفكرة الأساسية تعتمد على تقسيم المضلع إلى مثلثات من أحد الرؤوس، حيث ينتج عن كل مضلع ذي n ضلع عدد من المثلثات يساوي n-2. ومن هنا تأتي نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية S = (n - 2) * 180، بينما مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس يساوي دائما 360 درجة. مثال سريع: لمضلع سداسي عدد أضلاعه 6، يكون مجموع زواياه الداخلية S = (6 - 2) * 180 = 720 درجة، وإذا كان منتظما، فإن قياس كل زاوية داخلية يساوي 720 / 6 = 120 درجة.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول إيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع محدب، وكذلك مجموع قياسات زواياه الخارجية. لو نظرت إلى مضلع، يمكنك دائما رسم أقطار من أحد رؤوسه لتقسيمه إلى مثلثات. بما أن مجموع زوايا المثلث الواحد هو 180 درجة، فإن مجموع زوايا المضلع يرتبط ارتباطا مباشرا بعدد المثلثات الداخليّة فيه.

الشرح

حسب النظرية الأولى، إذا كان لديك مضلع محدب عدد أضلاعه $n$، فإن مجموع قياسات زواياه الداخلية يعطى بالصيغة: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$ حيث $S$ هو المجموع الكلي، و$n$ هو عدد الأضلاع والرؤوس. لمعرفة قياس الزاوية الداخلية الواحدة في المضلع المنتظم، نقسم المجموع الكلي على عدد الأضلاع $n$. أما لإيجاد عدد الأضلاع إذا علم قياس الزاوية الداخلية، فنكتب معادلة مساوية لقياس الزاوية المعطى بالصيغة العامة ونحلها لإيجاد $n$. وفيما يتعلق بالزوايا الخارجية، تنص النظرية الثانية على أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع المحدب بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس يساوي دائما $360^\circ$. وإذا كان المضلع منتظما، فإن قياس كل زاوية خارجية يُحسب بقسمة $360^\circ$ على عدد الأضلاع $n$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قياس كل زاوية خارجية للسداسي المنتظم. الخطوة 1: تذكر أن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس يساوي دائما $360^\circ$. الخطوة 2: بما أن السداسي المنتظم له 6 أضلاع متطابقة وتكون زواياه الخارجية متطابقة أيضا، نفرض أن قياس كل زاوية خارجية يساوي $x$. الخطوة 3: نكتب المعادلة: $6x = 360^\circ$ الخطوة 4: نقسم كلا الطرفين على 6: $x = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ إذن قياس كل زاوية خارجية للسداسي المنتظم يساوي $60^\circ$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين قانون مجموع الزوايا الداخلية وقانون مجموع الزوايا الخارجية، حيث يظن البعض أن مجموع الزوايا الخارجية يتغير بتغير عدد أضلاع المضلع، والصحيح أنه ثابت ويساوي دائما $360^\circ$.
• نسيان طرح العدد 2 عند استخدام قانون مجموع الزوايا الداخلية $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$.
• التعامل مع المضلعات غير المنتظمة على أن لها زوايا متطابقة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للثماني المحدب. الإجابة: نطبق الصيغة $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$ حيث $n = 8$: $S = (8 - 2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ$. السؤال الثاني: أوجد قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم عشاري (ذو 10 أضلاع). الإجابة: أولا نجد مجموع الزوايا الداخلية: $S = (10 - 2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$. ثانيا نقسم المجموع على عدد الأضلاع لإيجاد قياس الزاوية الواحدة: $\frac{1440^\circ}{10} = 144^\circ$.