مباينة المثلث
انظر إلى وسائد التزيين في أعلى الصفحة: إذا أردت صنع مثلث، فهل تصلح أي ثلاثة أطوال كيفما اتفق؟ جرب أن ترسم خطين قصيرين مجموعهما أقل من الضلع الثالث، ستجد أنهما لا يلتقيان أبداً لإغلاق المثلث. قاعدة اللعبة الرياضية هنا تسمى نظرية 4.11 أو مباينة المثلث، والتي تنص على أن مجموع طولي أي ضلعين في مثلث يجب أن يكون أكبر دائماً من طول الضلع الثالث. تأمل المثال 1: لمعرفة هل الأطوال 8 و15 و17 تشكل مثلثاً، اجمع أصغر ضلعين وهما 8 و15 ليكون الناتج 23، وبما أن 23 أكبر من الضلع الثالث 17، فالأطوال تصلح. أما في الفقرة b فالأطوال هي 6 و8 و14، وبجمع 6 مع 8 يكون الناتج 14، وهو لا يكبر الضلع الثالث 14 بل يساويه، ولهذا السبب لا يمكن رسم مثلث بهذه الأطوال.
يقوم درس مباينة المثلث على قاعدة أساسية تفيد بأن مجموع طولي أي ضلعين في أي مثلث يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث لكي تشكل هذه الأطوال مثلثاً صحيحاً. انظر إلى أطوال أضلاع مثل ٣ و٥ و٧ سنتيمترات؛ إذا جمعت الضلعين الأصغرين ٣ و٥ فالناتج هو ٨، وهو أكبر من الضلع الثالث ٧، إذن هذه الأطوال تصلح لتكون مثلثاً. أما إذا كانت الأطوال لا تحقق هذا الشرط في جميع الحالات الثلاث، فلا يمكن رسم المثلث. كما يتيح لك هذا الدرس إيجاد مدى القيم الممكنة لطول الضلع الثالث في مثلث علم طول ضلعين فيه، وذلك عبر كتابة متباينات مركبة تحصر طول الضلع المجهول بين الفرق المطلق ومجموع الطولين المعطيين.
الفكرة الأساسية
الخط المستقيم هو أقصر مسافة بين نقطتين، ولذلك لا يمكن بناء مثلث بأي ثلاثة أطوال عشوائية. الفكرة هنا هي أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث لابد أن يفوق طول الضلع الثالث، وإلا انكسرت الأضلاع ولم تلتق ببعضها لتغلق الشكل.
الشرح
تنص نظرية مباينة المثلث على أنه في أي مثلث، يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث. وتكتب رياضياً لثلاثة أضلاع كالتالي: مجموع ومجموع ومجموع . للتحقق من إمكانية تكون مثلث من ثلاثة أطوال، اختبر أصغر ضلعين؛ إن كان مجموعهما أكبر من الضلع الأكبر، فالأطوال تصلح لتشكيل مثلث. أما إذا علمنا طول ضلعين فقط واردنا معرفة المدى الممكن لطول الضلع الثالث، فنستخدم متباينتين؛ الأولى أن يكون الضلع الثالث أكبر من الفرق بين الطولين المعطيين، والثانية أن يكون أصغر من مجموع الطولين المعطيين.
مثال محلول خطوة بخطوة
حدد ما إذا كانت القياسات و و تمثل أطوال أضلاع مثلث. الخطوة الأولى: نتحقق من صحة المتباينات الثلاث بجمع كل ضلعين ومقارنتهما بالثالث. المتباينة الأولى: وتصبح وهي عبارة صحيحة. المتباينة الثانية: وتصبح وهي صحيحة أيضاً. المتباينة الثالثة: وتصبح وهي صحيحة. بما أن مجموع طولي أي قطعتين أكبر من طول القطعة الثالثة في كل الحالات، إذن القطع المستقيمة التي أطوالها و و تكون مثلثاً.
أخطاء شائعة
الاكتفاء بتجربة جمع ضلعين عشوائيين فقط للحكم على إمكانية تشكيل المثلث، والصحيح هو وجوب تحقق الشرط لجميع المجموعات الثلاث الممكنة من الأضلاع. الخطأ الثاني هو نسيان اختبار أصغر ضلعين معاً ومقارنتهما بالضلع الأكبر.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: حدد ما إذا كانت القياسات و و تمثل أطوال أضلاع مثلث. الإجابة: لا، لأن مجموع طولي الضلعين الأصغرين يساوي وهو ليس أكبر من طول الضلع الثالث . السؤال الثاني: إذا كان طولا ضلعين في مثلث هما سنتيمترات و سنتيمترات، فما أصغر عدد صحيح يمكن أن يمثل طول الضلع الثالث؟ الإجابة: سنتيمترات، لأن المدى يكون بين الفرق وهو والمجموع وهو ، وأصغر عدد صحيح موجب بينهما هو .