المتباينات في مثلثين

يقوم درس المتباينات في مثلثين على ربط العلاقة بين أطوال أضلاع مثلثين وقياسات زواياهما المحصورة. تعتمد الفكرة على متباينة SAS وعكسها، حيث تتلخص متباينة SAS في أنه إذا طابق ضلعان في مثلث ضلعين في مثلث آخر وكان قياس الزاوية المحصورة في الأول أكبر، فإن الضلع الثالث يكون أطول. أما عكس متباينة SSS فينص على أنه إذا كان الضلع الثالث أطول، فإن الزاوية المحصورة تكون أكبر. مثال ذلك: إذا كان في المثلث الأول ضلعان بطول 5 سم و 7 سم وزاوية محصورة قياسها $60^{\circ}$، وفي المثلث الثاني ضلعان بنفس الطول ولكن بزاوية محصورة قياسها $80^{\circ}$، فإن الضلع المقابل للزاوية $80^{\circ}$ يكون أطول.

الفكرة الأساسية

تعتمد الفكرة الأساسية على مقارنة أطوال أضلاع وقياسات زوايا بين مثلثين عندما يتطابق ضلعان في أحدهما مع ضلعين في الآخر. عندما تفتح ذراعي الرافعة أو تفتح باباً، فإن اتساع الزاوية بين الضلعين يغير مباشرة طول الضلع المقابل لهما، وكلما زادت الزاوية زاد طول الضلع المقابل.

الشرح

نستخدم في هذا الدرس نظريتين رئيسيتين:

1. متباينة SAS: إذا طابق ضلعان في مثلث ضلعين مناظرين في مثلث آخر، وكان قياس الزاوية المحصورة في المثلث الأول أكبر من قياس الزاوية المحصورة في المثلث الثاني، فإن الضلع الثالث في المثلث الأول يكون أطول من الضلع الثالث في المثلث الثاني. بالرموز: إذا كان $AB \cong FG$ و $AC \cong FH$ و $m\angle A > m\angle F$ فإن $BC > GH$.
2. عكس متباينة SSS: إذا طابق ضلعان في مثلث ضلعين مناظرين في مثلث آخر، وكان الضلع الثالث في المثلث الأول أطول من الضلع الثالث في المثلث الثاني، فإن قياس الزاوية المحصورة في المثلث الأول يكون أكبر من قياس الزاوية المحصورة في المثلث الثاني. بالرموز: إذا كان $PR \cong JL$ و $QR \cong KL$ و $PQ > JK$ فإن $m\angle R > m\angle L$.

مثال محلول خطوة بخطوة

قارن بين قياس الزاويتين $m\angle WZX$ و $m\angle YZX$ في المثلثين $WXZ$ و $YXZ$ حيث أن $WZ \cong YZ$ و $XZ \cong XZ$ و $WX > XY$. الخطوة 1: انظر إلى المعطيات واكتشف الأضلاع المتطابقة. الضلع $WZ$ يطابق الضلع $YZ$، والضلع $XZ$ ضلع مشترك بين المثلثين فيطابق نفسه. الخطوة 2: انظر إلى أطوال الأضلاع الثالثة. المعطى يخبرنا أن $WX > XY$. الخطوة 3: طبق عكس متباينة SSS. بما أن الضلع $WX$ في المثلث الأول أطول من الضلع $XY$ في المثلث الثاني، إذن الزاوية المقابلة للضلع الأطول تكون أكبر، وعليه فإن $m\angle WZX > m\angle YZX$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين متباينة SAS وعكس متباينة SSS؛ إذ تتطلب الأولى مقارنة زوايا لنتج عن ذلك مقارنة أضلاع، بينما تنطلق الثانية من مقارنة أضلاع لتنتج مقارنة زوايا.
• نسيان التحقق من تطابق الضلعين الآخرين قبل تطبيق متباينة SAS أو عكسها.
• كتابة مدى خاطئ لـ $x$ عند حل المسائل الجبرية بتجاهل حقيقة أن قياس أي زاوية في المثلث يجب أن يكون أكبر من $0$ وأقل من $180$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: قارن بين الضلعين $JK$ و $MQ$ إذا كان في المثلثين ضلعان متطابقان بقياس 12 و 15، وكانت الزاوية المحصورة المقابلة لـ $JK$ تساوي $72^{\circ}$ والزاوية المقابلة لـ $MQ$ تساوي $61^{\circ}$. الإجابة: $JK > MQ$ بحسب متباينة SAS. السؤال الثاني: أوجد متباينة تمثل مدى القيم الممكنة لـ $x$ إذا كانت الزاوية المحصورة تساوي $6x + 15$ وكانت أكبر من $65$ وأقل من $180$. الإجابة: $8\frac{1}{3} < x < 27.5$