البرهان غير المباشر
انظر إلى فقرة لماذا: محل يعلن عن تخفيض ٢٥ بالمئة، فلو كان ثمن القطعة ٨٠ ريالاً بعد التخفيض، هل كان ثمنها قبل التخفيض أكثر من ١٠٠ ريال أو أقل؟ الجواب لا، لأنه لو كان ١٠٠ ريال لأصبح السعر أقل. البرهان غير المباشر يعني أن تفترض أن النتيجة خطأ، ثم تبحث عن تناقض يثبت أن خطوتك أدت إلى عكس الصواب. انظر إلى خطوات كتابة البرهان الأساسي: الخطوة الأولى حدد النتيجة وافترض نفيها، الخطوة الثانية استعمل التبرير لتصل إلى تناقض مع المعطيات أو حقيقة سابقة، والخطوة الثالثة أكد أن النتيجة الأصلية صحيحة. انظر إلى مثال واحد: اكتب الافتراض الضروري لبدء برهان غير مباشر، مثل أن تكون العبارة ، فالافتراض هو .
يقوم البرهان غير المباشر، أو البرهان بالتناقض، على فكرة بسيطة: حين تريد إثبات أن نتيجة ما صحيحة، افترض مؤقتاً أن نفيها صحيح. استمر في تتبع النتائج الرياضية حتى تصل إلى تناقض واضح مع المعطيات أو مع حقيقة رياضية مسلم بها. هذا التناقض يعني أن افتراضك خاطئ، وأن النتيجة الأصلية هي الصحيحة حتماً. خطواته ثلاث: حدد النتيجة وافترض خطأها، استخدم التبرير للوصول إلى تناقض، ثم استنتج صحة النتيجة الأصلية. فمثلاً لإثبات أن x > 4 إذا كان 16 < 4 + 3x-، نفترض أولاً أن x ≤ -4. بالتعويض والحل نصل إلى تناقض مع المعطى 16 < 4 + 3x-، مما يثبت أن الفرض خاطئ وأن النتيجة الصحيحة هي x > 4.
الفكرة الأساسية
عندما يصعب إثبات عبارة بالطريقة المباشرة، نلجأ إلى البرهان غير المباشر، ويسمى أيضاً البرهان بالتناقض. تقوم الفكرة على افتراض أن المطلوب إثباته خاطئ، ثم تتبع الخطوات المنطقية حتى نصطدم بتناقض مع المعطيات أو مع نظرية مسلم بها، وهذا يثبت أن فرضنا كان خاطئاً وأن العبارة الأصلية صحيحة.
الشرح
لكتابة برهان غير مباشر نتبع ثلاث خطوات أساسية: الخطوة 1: حدد النتيجة التي تريد إثباتها وافترض العكس، أي افترض أن نفيها صحيح. الخطوة 2: استعمل التبرير المنطقي والخطوات الجبرية أو الهندسية لتبين أن هذا الافتراض يقود إلى تناقض مع المعطيات الأصلية أو مع حقيقة سابقة مثل تعريف أو مسلمة أو نظرية. الخطوة 3: بما أن الافتراض أدى إلى تناقض، إذن الافتراض خاطئ، وتكون النتيجة الأصلية صحيحة.
مثال محلول خطوة بخطوة
اكتب برهاناً غير مباشر لتبيين أنه: إذا كان 16 < 4 + 3x-، فإن 4 < x-. المعطيات: 16 < 4 + 3x- المطلوب: إثبات أن 4 < x- الخطوة 1: نفترض العكس، وهو أن 4 ≥ x-؛ لذا نفترض أن 4 ≥ x- صحيحة. الخطوة 2: نبدأ بالافتراض 4 ≥ x-، ونضرب الطرفين في 3- ليصبح 12 ≤ 3x-، ثم نجمع 4 للطرفين ليصبح 4 + 12 ≤ 4 + 3x-، وبعد التبسيط نحصل على 16 ≤ 3x- + 4. ولكن المعطى الأصلي يقول إن 16 < 4 + 3x-. الخطوة 3: هذا الافتراض أدى إلى تناقض مع المعلومة المعطاة 16 < 4 + 3x-؛ لذا فالافتراض بأن 4 ≥ x- يجب أن يكون خطأً، وأن النتيجة الأصلية 4 < x- هي الصحيحة.
أخطاء شائعة
- الخلط بين نفي العبارة والخطأ في كتابة التباين؛ فنفي علامة الأكبر (>) هو علامة الأصغر أو يساوي (≤) وليس علامة الأصغر فقط (<).
- الاعتقاد بأن التناقض يأتي دائماً مع المعطيات، بينما قد يأتي مع تعريف رياضي أو مسلمة أو نظرية سابقة.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: اكتب الافتراض الذي تبدأ به برهاناً غير مباشر للعبارة: إذا كانت 56 < 7x، فإن 8 < x. الإجابة: الافتراض هو 8 ≥ x. السؤال الثاني: اكتب الافتراض الذي تبدأ به برهاناً غير مباشر للعبارة: إذا كان العدد 6 عاملاً للعدد n، فإن 2 عامل للعدد n. الإجابة: الافتراض هو أن العدد 2 ليس عاملاً للعدد n.