المتباينات في المثلث

يقوم هذا الدرس على ربط قياسات زوايا المثلث بأطوال أضلاعه باستخدام المتباينات. الفكرة الأساسية أن الزاوية الأكبر في المثلث يقابلها الضلع الأطول، والعكس صحيح؛ فالضلع الأطول يقابله الزاوية الكبرى. كما يدرس متباينة الزاوية الخارجية التي تنص على أن قياس الزاوية الخارجية للمثلث أكبر من قياس أي من الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها. مثال سريع: إذا كان لدينا مثلث أطوال أضلاعه مختلفة، ووجدنا أن قياس إحدى زواياه يساوي 80 درجة وأخرى 50 درجة وثالثة 50 درجة، فإن الضلع المقابل للزاوية التي قياسها 80 درجة هو الضلع الأطول مقارنة بالضلعين الآخرين.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول المقارنة بين أطوال أضلاع المثلث وقياسات زواياه. إذا علمت قياسات الزوايا، تستطيع معرفة ترتيب الأضلاع من الأقصر إلى الأطول. وإذا علمت أطوال الأضلاع، تستطيع ترتيب الزوايا من الأصغر إلى الأكبر. كما نتعرف على علاقة الزاوية الخارجية للمثلث بالزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها.

الشرح

نبدأ بمتباينة الزاوية الخارجية: قياس الزاوية الخارجية للمثلث أكبر دائماً من قياس أي من الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها. انظر إلى متباينة الزاوية-ضلع (النظرية 4.9): إذا كان أحد أضلاع مثلث أطول من ضلع آخر، فإن قياس الزاوية المقابلة للضلع الأطول يكون أكبر من قياس الزاوية المقابلة للضلع الأقصر. وبالمثل في متباينة ضلع-زاوية (النظرية 4.10): إذا كان قياس إحدى زوايا مثلث أكبر من قياس زاوية أخرى، فإن الضلع المقابل للزاوية الكبرى يكون أطول من الضلع المقابل للزاوية الصغرى.

مثال محلول خطوة بخطوة

اكتب زوايا المثلث $\Delta PQR$ مرتبة من الأصغر إلى الأكبر، إذا كانت أطوال الأضلاع مرتبة من الأقصر إلى الأطول هي: $\overline{QR}$ ثم $\overline{PR}$ ثم $\overline{PQ}$. الخطوة الأولى: نحدد الزوايا المقابلة لكل ضلع. الضلع $\overline{QR}$ يقابله الزاوية $$\angle P$$. والضلع $\overline{PR}$ يقابله الزاوية $$\angle Q$$. والضلع $\overline{PQ}$ يقابله الزاوية $$\angle R$$. الخطوة الثانية: بما أن الأضلاع مرتبة من الأقصر إلى الأطول هكذا: $QR < PR < PQ$، فإن الزوايا المقابلة لها ستكون مرتبة بنفس الترتيب من الأصغر إلى الأكبر بناءً على نظرية ضلع-زاوية. الخطوة الثالثة: إذن الترتيب هو: $$\angle P$$, ثم $$\angle Q$$, ثم $$\angle R$$.

أخطاء شائعة

الخطأ الشائع هو تحديد الضلع المقابل للزاوية بشكل خاطئ؛ تذكر دائماً أن الضلع المقابل للزاوية هو الضلع الذي لا يمس تلك الزاوية ويقع في مواجهتها تماماً داخل المثلث. خطأ آخر هو الخلط بين ترتيب الأضلاع وترتيب الزوايا بعكس الاتجاه.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: اكتب زوايا المثلث $\Delta ABC$ مرتبة من الأصغر إلى الأكبر إذا كانت أطوال أضلاعه: $AB = 4.8$ و $BC = 7$ و $AC = 3.7$. الإجابة: الأضلاع من الأقصر إلى الأطول هي $\overline{AC}$ ثم $\overline{AB}$ ثم $\overline{BC}$، إذن الزوايا من الأصغر إلى الأكبر هي $$\angle B$$, ثم $$\angle C$$, ثم $$\angle A$$. السؤال الثاني: اكتب أضلاع المثلث $\Delta FGH$ مرتبة من الأقصر إلى الأطول إذا كان قياس $$\angle F = 79^\circ$$ وقياس $$\angle G = 45^\circ$$ وقياس $$\angle H = 56^\circ$$. الإجابة: الزوايا مرتبة من الأصغر إلى الأكبر هي $$\angle G$$ ثم $$\angle H$$ ثم $$\angle F$$، إذن الأضلاع المقابلة لها مرتبة من الأقصر إلى الأطول هي $\overline{FH}$ ثم $\overline{FG}$ ثم $\overline{GH}$.