القطع المتوسطة والارتفاعات في المثلث

يقوم هذا الدرس على فكرة تتبع الخطوط المميزة داخل المثلث، وتحديداً القطع المتوسطة والارتفاعات. القطعة المتوسطة هي قطعة مستقيم تصل بين رأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل له، وتتقاطع القطع المتوسطة الثلاث في نقطة تسمى مركز المثلث، والتي تبعد عن كل رأس ثلثي طول القطعة الواصلة بين ذلك الرأس ومنتصف الضلع المقابل له. أما الارتفاع فهو قطعة مستقيم عمودية نازلة من أحد الرؤوس إلى المستقيم الذي يحوي الضلع المقابل لذلك الرأس، وتلتقي ارتفاعات أي مثلث في نقطة تسمى ملتقى الارتفاعات. فمثلاً لو كان لدينا مثلث مركزة النقطة P وكانت قطعة مستقيمة طولها الكلي 9 مثل BE، فإن الجزء القريب من الرأس B وهو BQ يساوي ثلثي هذا الطول، أي $\frac{2}{3} \times 9 = 6$.

الفكرة الأساسية

ندخل اليوم إلى خطوط داخل المثلث لها أهمية هندسية وعملية كبرى. لو أردت تعليق لوحة مثلثية الشكل من نقطة واحدة بحيث تتوازن تماماً ولا تميل، فأنت تبحث عن نقطة معينة تتلاقى عندها قطع مستقيمة خاصة تسمى القطع المتوسطة. وإذا احتجنا لحساب مساحات أو دراسة تعامد، فإننا نلجأ إلى الارتفاعات.

الشرح

القطعة المتوسطة هي قطعة مستقيم طرفاها أحد رؤوس المثلث ونقطة منتصف الضلع المقابل لذلك الرأس. انظر إلى أي مثلث، فله ثلاث قطع متوسطة تتقاطع جميعها في نقطة واحدة تسمى مركز المثلث، وهذه النقطة تقع دائمًا داخله. نصت نظرية مركز المثلث على أن مركز المثلث يبعد عن كل رأس ثلثي طول القطعة المستقيمة الواصلة بين ذلك الرأس ومنتصف الضلع المقابل له. فلو افترضنا أن لدينا النقطة P مركز لمثلث وقطعة متوسطة AK، فإن المسافة من الرأس إلى المركز هي $AP = \frac{2}{3} AK$. أما الارتفاع في المثلث فهو القطعة المستقيمة العمودية النازلة من أحد الرؤوس إلى المستقيم الذي يحوي الضلع المقابل لذلك الرأس، ويمكن أن يقع الارتفاع داخل المثلث أو خارجه أو على أحد أضلاعه. وتتلاقي المستقيمات التي تحوي ارتفاعات أي مثلث في نقطة تسمى ملتقى الارتفاعات.

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا كانت النقطة Q مركز المثلث ABC، وكان طول القطعة BE يساوي 9، فأوجد طولي القطع الكلية والجزئية. الخطوة الأولى: نطبق نظرية مركز المثلث لحساب الجزء القريب من الرأس، فنكتب $BQ = \frac{2}{3} BE$. الخطوة الثانية: نعوض بالقيمة المعطاة، فيصبح $BQ = \frac{2}{3} (9) = 6$. الخطوة الثالثة: نستخدم مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة لحساب الباقي، بما أن $BQ + QE = BE$ إذن $6 + QE = 9$. الخطوة الرابعة: نطرح 6 من الطرفين لنحصل على $QE = 3$.

أخطاء شائعة

الخطأ الشائع هنا هو الخلط بين نسب نظرية مركز المثلث؛ حيث يخطئ الطالب فيضع نسبة الثلثين للقسم القصير من القطعة المتوسطة والقسم الصغير للرأس، والصحيح دائماً أن الجزء الأكبر والمنطقة الأطوال تكون جهة الرأس بنسبة $\frac{2}{3}$، بينما الجزء الصغير يكون جهة المنتصف بنسبة $\frac{1}{3}$. الخطأ الثاني هو اعتبار الارتفاع قطعة منصفة للضلع دائماً، والصحيح أن الارتفاع يصنع زوايا قائمة فقط ولا يشترط أن ينصف الضلع.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في مثلث ما، إذا كانت النقطة P مركز المثلث، وطول القطعة المتوسطة كاملةً AD يساوي 15، أوجد طول القطعة AP. الإجابة: بما أن مركز المثلث يبعد ثلثي الطول عن الرأس، فإن $AP = \frac{2}{3} \times 15 = 10$. السؤال الثاني: صنف القطعة BD إذا كانت عمودية على الضلع المقابل وتمر بالرأس في المثلث. الإجابة: تسمى ارتفاعاً.