المنصفات في المثلث

يقوم الدرس على دراسة خصائص الأعمدة المنصفة لأضلاع المثلث ومنصفات زواياه، وكيفية ارتباطها بمسافات متساوية من رؤوس وأضلاع المثلث. الفكرة الأساسية تكمن في أن أي نقطة تقع على عمود منصف لقطعة مستقيمة تكون على بعدين متساويين من طرفيها، وبالمثل فإن أي نقطة على منصف زاوية تكون على بعدين متساويين من ضلعيه. وتلتقي الأعمدة المنصفة لأضلاع أي مثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة الخارجية للمثلث، بينما تلتقي منصفات زواياه في نقطة تسمى مركز الدائرة الداخلية. مثال سريع: إذا كان المستقيم $CD$ عموداً منصفاً للقطعة المستقيمة $AB$ وكانت النقطة $C$ تقع عليه، فإن المسافة بين $C$ و$A$ تساوي المسافة بين $C$ و$B$ أي أن $AC = BC$.

الفكرة الأساسية

يتناول الدرس كيفية استخدام الأعمدة المنصفة لأضلاع المثلث ومنصفات زواياه لإيجاد أطوال أضلاع وزوايا مجهولة. الفكرة تعتمد على مفهوم المسافة؛ فالنقطة الواقعة على عمود منصف لقطعة مستقيمة تبعد المسافة نفسها عن طرفي القطعة، والنقطة الواقعة على منصف زاوية تبعد المسافة نفسها عن ضلعي الزاوية.

الشرح

نبدأ بالأعمدة المنصفة؛ فالعمود المنصف هو مستقيم يقطع القطعة المستقيمة عند منتصفها ويكون عمودياً عليها. تنص نظرية العمود المنصف (4.1) على أن كل نقطة على العمود المنصف لقطعة مستقيمة تكون على بعدين متساويين من طرفي القطعة المستقيمة. فإذا كان المستقيم $CD$ عموداً منصفاً للقطعة $AB$ فإن $AC = BC$. وعكس هذه النظرية (4.2) يقرر أن كل نقطة على بعدين متساويين من طرفي قطعة مستقيمة تقع على العمود المنصف لتلك القطعة.

عندما تتقاطع ثلاثة مستقيمات أو أكثر في نقطة مشتركة تسمى مستقيمات متلاقية، والنقطة هي نقطة التلاقي. بالنسبة للمثلث، تلتقي الأعمدة المنصفة لأضلاعه الثلاثة في نقطة تسمى مركز الدائرة الخارجية للمثلث، والتي تنص نظرية (4.3) على أنها تكون على أبعاد متساوية من رؤوس المثلث، فإذا كانت $P$ مركز الدائرة الخارجية للمثلث $ABC$ فإن $PB = PA = PC$.

ننتقل بعد ذلك إلى منصفات الزوايا؛ فنصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متطابقتين. تنص نظرية منصف الزاوية (4.4) على أن كل نقطة تقع على منصف زاوية تكون على بعدين متساويين من ضلعيها، فإذا كان الشعاع $BF$ منصفاً للزاوية $DBE$ وكان $FD$ عمودياً على $BD$ و$FE$ عمودياً على $BE$ فإن $DF = FE$. وعكس النظرية (4.5) يوضح أن كل نقطة تقع داخل الزاوية وتكون على بعدين متساويين من ضلعيها فإنها تقع على منصف الزاوية. وأخيراً، تلتقي منصفات زوايا المثلث الثلاثة في نقطة تسمى مركز الدائرة الداخلية للمثلث، والتي تنص نظرية (4.6) على أنها تقع على أبعاد متساوية من أضلاع المثلث، فإذا كانت $P$ مركز الدائرة الداخلية للمثلث $ABC$ فإن الأبعاد العمودية $PD = PE = PF$.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى السؤال حيث $RT$ عمود منصف للقطعة $QT$، ويكون المطلوب إيجاد طول $RT$ إذا كانت المعطيات $RT = 4x - 7$ و $RQ = 2x + 3$. الخطوة الأولى: نطبق نظرية العمود المنصف التي تنص على أن النقطة الواقعة على العمود المنصف تبعد مسافتين متساويتين عن طرفي القطعة، إذن $RT = RQ$. الخطوة الثانية: نعوض بالقيم المعطاة في المعادلة فيصبح لدينا $4x - 7 = 2x + 3$. الخطوة الثالثة: نطرح $2x$ من الطرفين لتبسيط المعادلة فينتج $2x - 7 = 3$. الخطوة الرابعة: نجمع $7$ إلى الطرفين فيصبح $2x = 10$. الخطوة الخامسة: نقسم الطرفين على $2$ لنصل إلى قيمة $x$ وهي $x = 5$. الخطوة السادسة: نعوض بقيمة $x$ لإيجاد طول $RT$ هكذا: $RT = 4(5) - 7 = 20 - 7 = 13$.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن العمود المنصف للضلع يجب بالضرورة أن يمر برأس المثلث المقابل، وهذا غير صحيح دائماً فقد لا يمر به.
• الخلط بين مركز الدائرة الخارجية للمثلث (الناتج من تلاقي الأعمدة المنصفة للأضلاع ويبعد مسافات متساوية عن الرؤوس) ومركز الدائرة الداخلية للمثلث (الناتج من تلاقي منصفات الزوايا ويبعد مسافات متساوية عن الأضلاع).
• محاولة استخدام معلومة تطابق ضلعين فقط في زاوية دون وجود تعامد لاستنتاج أن المستقيم منصف للزاوية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كان $m$ عموداً منصفاً لـ $XZ$ وكان $WX = 14.9$ و $WZ = 14.9$، فأوجد طول $WX$. الإجابة: طول $WX$ يساوي $14.9$. السؤال الثاني: إذا كانت النقطة $P$ مركز الدائرة الداخلية للمثلث $ABC$ وكان $PD = 5$، فما طول $PE$؟ الإجابة: طول $PE$ يساوي $5$ لأن مركز الدائرة الداخلية يقع على أبعاد متساوية من أضلاع المثلث.