المثلثات والبرهان الإحداثي (٢)

يقوم البرهان الإحداثي على وضع الشكل الهندسي في المستوي الإحداثي بحيث تسهل قراءة إحداثيات رؤوسه باستخدام المتغيرات، مثل استخدام نقطة الأصل ووضع أضلاع الشكل على المحاور. تتيح هذه الطريقة تطبيق قوانين الجبر مثل قانون المسافة وقانون منتصف القطعة المستقيمة لإثبات العلاقات الهندسية دون الحاجة لقياسات فعلية. مثال ذلك: لرسم مثلث متطابق الضلعين طول كل من ساقيه والقائم الزاوية يساوي a، نجعل رأس القائمة عند نقطة الأصل (0, 0)، وأحد الساقين على المحور x بإحداثيات (a, 0)، والآخر على المحور y بإحداثيات (0, -a)، مما يمكننا من حساب أطوال الأضلاع ومقارنتها بدقة.

الفكرة الأساسية

يعتمد البرهان الإحداثي على ربط الهندسة بالجبر عن طريق وضع الشكل على المستوي الإحداثي. الفكرة هي اختيار موقع ذكي لرؤوس الشكل، مثل جعل أحد الرؤوس عند نقطة الأصل، وتوزيع باقي الرؤوس باستخدام متغيرات مثل a وb، ثم تطبيق القوانين الجبرية مثل قانون المسافة وقانون الميل لإثبات الخصائص المطلوبة.

الشرح

لكتابة برهان إحداثي لمثلث أو أي شكل هندسي، اتبع الخطوات التالية لتحديد الإحداثيات بدقة:

1. اجعل نقطة الأصل (0, 0) رأساً للمثلث، ويفضل أن تكون هي رأس الزاوية القائمة إن وجد.
2. اجعل أحد أضلاع الشكل منطبقاً على أحد المحاور الإحداثية، مثل المحور x أو المحور y.
3. استخدم المتغيرات بدلاً من الأعداد الثابتة للتعبير عن الأطوال المجهولة، مثل استخدام a ليدل على طول ضلع معين.
4. استخدم قانون المسافة بين نقطتين المكتوب بالصيغة $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ لحساب أطوال أضلاع المثلث وإثبات تطابقها أو اختلافها.

مثال محلول خطوة بخطوة

السؤال: ارسم المثلث MNO القائم الزاوية في M، طولا ضلعيه القائمين 2a و a. الخطوة الأولى: حدد الرؤوس على المستوى الإحداثي بوضع رأس القائمة M عند نقطة الأصل (0, 0). الخطوة الثانية: ضع الضلع الأول الذي طوله 2a على المحور x، ليصبح إحداثي الرأس الثاني (2a, 0). الخطوة الثالثة: ضع الضلع الثاني الذي طوله a على المحور y، ليصبح إحداثي الرأس الثالث (0, a).

أخطاء شائعة

• اختيار موقع عشوائي للشكل في المستوي الإحداثي بدلاً من وضعه عند نقطة الأصل، مما يصعب حساب الإحداثيات.
• الخلط بين إحداثيات النققع على المحاور، مثل وضع نقطة على المحور x بكتابة إحداثي صادي مخالف للصفر.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ارسم مثلثاً متطابق الضلعين وقائم الزاوية طول ساقه a في الربع الرابع، ما إحداثيات رؤوسه؟ الإجابة: الرؤوس هي (0, 0) لنقطة الأصل، و(a, 0) للنقطة الواقعة على المحور x، و(0, -a) للنقطة الواقعة على الجزء السالب للمحور y في الربع الرابع. السؤال الثاني: ما القانون الجبريالأكثر استخداماً في البراهين الإحداثية لإيجاد أطوال أضلاع المثلث؟ الإجابة: قانون المسافة بين نقطتين في المستوي الإحداثي.