المثلثات والبرهان الإحداثي (١)

البرهان الإحداثي يعتمد على تمثيل الأشكال الهندسية في المستوى الإحداثي واستخدام الجبر وقوانين المسافة والمنتصف والميل لاكتشاف خصائصها وإثبات صحتها. لتسهيل الحسابات، نبدأ بوضع أحد رؤوس المثلث عند نقطة الأصل $(0, 0)$، ونرسم ضلعاً واحداً على الأقل على أحد المحورين س أو ص، ويفضل وضع المثلث في الربع الأول. فمثلاً، لتمثل مثلثاً متطابق الضلعين طول قاعدته $2a$ وطول ضلعه الآخر $b$، تضع رأس القائمة عند نقطة الأصل $(0, 0)$، وتجعل القاعدة على محور س، فتكون إحداثيات الرؤوس $(0, 0)$ و$(2a, 0)$ و$(0, b)$، وهذا يتيح لك تطبيق القوانين الرياضية بسهولة تامة لاستخراج النتائج وإثبات النظريات الهندسية.

الفكرة الأساسية

البرهان الإحداثي يعتمد على وضع الشكل الهندسي داخل المستوى الإحداثي باستعمال المتغيرات بدلاً من الأعداد الثابتة لتحديد رؤوسه، ثم تطبيق قوانين الجبر مثل قانون المسافة وقانون منتصف القطعة المستقيمة وقانون الميل لاكتشاف خصائص الشكل وإثبات النظريات الهندسية بدقة.

الشرح

لكي تكتب برهاناً إحداثياً لأي مثلث دون تعقيد في الحسابات، اتبع أربع خطوات أساسية لرسمه:

1. اجعل نقطة الأصل $(0, 0)$ رأساً للمثلث.
2. ارسم ضلعاً واحداً على الأقل من أضلع المثلث على أحد المحورين (محور س أو محور ص).
3. ارسم المثلث في الربع الأول إن أمكن لتبقى الإحداثيات موجبة.
4. استعمل الإحداثيات التي تجعل الحسابات أبسط ما يمكن، مثل استعمال مضاعفات العدد 2 إذا كان قانون منتصف القطعة يتضمن قسمة على 2. فإذا طلب منك رسم مثلث قائم الزاوية طول ضلعيه القائمين $a$ و $b$، فضع زاوية القائمة عند نقطة الأصل $(0, 0)$، واجعل ضلعاً على محور س وطولهُ $a$ فتكون إحداثياته $(a, 0)$، والضلع الآخر على محور ص وطولهُ $b$ فتكون إحداثياته $(0, b)$. وإذا ظهرت إحداثيات مجهولة، استخدم خصائص الشكل الهندسي لمعرفتها؛ ففي المثلث متطابق الضلعين الذي تقع قاعدته على محور س ورأسه على محور ص، يكون الإحداثي السيني لرأس القاعدة منتصف المسافة بين طرفي القاعدة.

مثال محلول خطوة بخطوة

أرسم المثلث $MNP$ القائم في المستوى الإحداثي، وسُمّ رؤوسه على أن يكون طول $\overline{MN}$ يساوي $a$ وحدة، وطول $\overline{NP}$ يساوي $b$ وحدة.

• ابدأ بوضع زاوية المثلث القائمة $N$ على نقطة الأصل، فيكون ضلعا القائمة على المحورين س و ص.
• اجعل المثلث في الربع الأول.
• ارسم $M$ على المحور ص، وبما أن طول $\overline{MN}$ يساوي $a$ وحدة، فإن إحداثيها السيني يساوي صفراً، وإحداثيها الصادي يساوي $a$، لتصبح إحداثيات النقطة $M$ هي $(0, a)$.
• ارسم $P$ على المحور س، وبما أن طول $\overline{NP}$ يساوي $b$ وحدة، فإن إحداثيها الصادي يساوي صفراً، وإحداثيها السيني يساوي $b$، لتصبح إحداثيات النقطة $P$ هي $(b, 0)$.
• إحداثيات رأس القائمة $N$ هي نقطة الأصل $(0, 0)$.

أخطاء شائعة

• وضع المثلث في أماكن عشوائية في المستوى الإحداثي بعيداً عن نقطة الأصل والمحورين، مما يترتب عليه حسابات معقدة بمتغيرات كثيرة.
• إغفال استخدام مضاعفات العدد 2 (مثل $2a$ أو $2b$) عند وجود قوانين منتصف القطعة المستقيمة، مما يدخل الكسور في الإحداثيات ويصعب عملية التعويض.
• الخلط بين الإحداثي السيني والصادي عند إسقاط النقاط على المحورين س و ص.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ارسم المثلث $JKL$ المتطابق الضلعين في المستوى الإحداثي وسُمّ رؤوسه، على أن يكون طول قاعدته $\overline{JL}$ يساوي $a$ وحدة، ويكون ارتفاعه $b$ وحدة، والرأس $K$ يقع على المحور ص. الإجابة: بما أن المثلث متطابق الضلعين وارتفاعه ينصف قاعدته، اجعل نقطة الأصل تقع في منتصف القاعدة $\overline{JL}$، فتكون إحداثيات $J$ هي $(-\frac{a}{2}, 0)$، وإحداثيات $L$ هي (rac{a}{2}, 0)، وبما أن الرأس $K$ يقع على المحور ص على ارتفاع $b$، فتكون إحداثياته $(0, b)$.

السؤال الثاني: أوجد الإحداثيات المجهولة في المثلث $\triangle ABC$ المتطابق الضلعين والقائم الزاوية، إذا كان الرأس $B$ عند نقطة الأصل $(0, 0)$، ورأس القائمة ينطبق على تقاطع المحورين، وطول ضلع القائمة $a$. الإجابة: بما أن الرأس $B$ عند نقطة الأصل $(0, 0)$، والضلعان القائمان يقعان على المحورين س و ص، وطول كل منهما $a$، فتكون إحداثيات النقطة $B$ هي $(0, 0)$، وإحداثيات النقطة $C$ على محور س هي $(a, 0)$، وإحداثيات النقطة $A$ على محور ص هي $(0, a)$.