المثلثات المتطابقة الضلعين والمثلثات المتطابقة الأضلاع

يقوم هذا الدرس على ربط أطوال أضلاع المثلث بقياسات زواياه، وخصوصا في المثلث المتطابق الضلعين والمثلث المتطابق الأضلاع. الفكرة الأساسية هي أنه إذا تطابق ضلعان في مثلث، فإن الزاويتين المقابلتين لهما تكونان متطابتين، والعكس صحيح تماما. أما في المثلث المتطابق الأضلاع، فتكون جميع أضلاعه متطابقة وكذلك جميع زواياه متطابقة، وقياس كل منها يساوي $60^\circ$. فمثلا، لو كان لديك مثلث فيه ضلعان متطابان، وزاوية الرأس تساوي $60^\circ$، فيمكنك استخدام مجموع قياسات زوايا المثلث البالغ $180^\circ$ لحساب قياس زاويتي القاعدة لتجد أن كل منهما تساوي $60^\circ$، مما يثبت أن المثلث متطابق الأضلاع أيضا.

الفكرة الأساسية

ندرس اليوم كيف ترتبط أضلاع المثلث بزواياه. إذا تساوى طولا ضلعين في مثلث، تساوى أيضاً قياسا الزاويتين المقابلتين لهما. والعكس صحيح: إذا تساوى قياسا زوايتين في مثلث، تساوى طولا الضلعين المقابلين لهما. وفي المثلث المتطابق الأضلاع، تتطابق الزوايا الثلاث وتتساوى قياساتها.

الشرح

في المثلث المتطابق الضلعين، يُسمى الضلعان المتطابقان الساقين، والزاوية المحصورة بينهما زاوية الرأس، والضلع الثالث يسمى القاعدة، والزاويتان الواقعتان على القاعدة تسميان زوايتي القاعدة. تنص نظرية المثلث المتطابق الضلعين ($3.10$) على أنه إذا تطابق ضلعان في مثلث، فإن الزاويتين المقابلتين لهما متطابتان؛ فإذا كان $\overline{BC} \cong \overline{AC}$، فإن $\angle 2 \cong \angle 1$. وتنص عكس نظرية المثلث المتطابق الضلعين ($3.11$) على أنه إذا تطapt زاويتان في مثلث، فإن الضلعين المقابلين لهما متطابقان؛ فإذا كانت $\angle 2 \cong \angle 1$، فإن $\overline{FE} \cong \overline{DE}$. أما بالنسبة للمثلث المتطابق الأضلاع، فتوضحه نتيجتان: النتيجة ($3.3$) تقضي بأن يكون المثلث متطابق الأضلاع إذا وفقط إذا كان متطابق الزوايا. والنتيجة ($3.4$) تحدد أن قياس كل زاوية في المثلث المتطابق الأضلاع هو $60^\circ$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قياس $\angle Y$ في المثلث $XYZ$ حيث ضلعاه $\overline{XY}$ و$\overline{XZ}$ متطابقان، وقياس زاوية الرأس $\angle X$ يساوي $60^\circ$. الخطوة الأولى: بما أن $\overline{XY} \cong \overline{XZ}$، فاستعمل نظرية المثلث المتطابق الضلعين لتستنتج أن زوايتي القاعدة $\angle Z$ و$\angle Y$ متطابتان، أي أن $m\angle Z = m\angle Y$. الخطوة الثانية: استعمل نظرية مجموع زوايا المثلث: $m\angle X + m\angle Y + m\angle Z = 180^\circ$. الخطوة الثالثة: عوض بالقيم المعلومة: $60^\circ + m\angle Y + m\angle Y = 180^\circ$. الخطوة الرابعة: بسط المعادلة: $60^\circ + 2(m\angle Y) = 180^\circ$. الخطوة الخامسة: اطرح $60^\circ$ من كل طرف: $2(m\angle Y) = 120^\circ$. الخطوة السادسة: اقسم كل طرف على $2$ لتجد الناتج: $m\angle Y = 60^\circ$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين زاوية الرأس وزاويتي القاعدة عند تطبيق النظريات، وتحديد زاوية الرأس بشكل خاطئ على أنها إحدى زاويتي القاعدة.
• الاعتقاد بأن تطابق الأضلاع يعني بالضرورة اختلاف قياسات الزوايا، متجاهلين أن تساوي الأضلاع يستلزم حتماً تساوي الزوايا والعكس.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: سم زاويتين متطابقتين غير مشار إلى تطابقهما في الشكل إذا علم أن $\overline{CB} \cong \overline{AB}$ في المثلث $ABC$. الإجابة: $\angle A \cong \angle C$. السؤال الثاني: أوجد قياس زاوية في مثلث متطابق الأضلاع. الإجابة: قياسها $60^\circ$.