صفحة ١٧٩
انظر إلى صورة المتسابقين في القوارب؛ عندما يصعب قياس المسافات الكبيرة في الواقع، نلجأ إلى علم الهندسة وتحديداً تطابق المثلثات لنقيسها دون أن نتحرك إليها. في المثلث الظاهر في الرسم، الضلع المحصور هو الضلع الواقع بين زاويتين متتاليتين، ففي المثلث مثلاً، الضلع المحصور بين الزاوية والزاوية هو الضلع . انظر الآن إلى مسلمة التطابق بزاويتين وضلع محصور، ويرمز لها اختصاراً بـ ؛ إذا طابقت زاويتان والضلع المحصور بينهما في مثلث نظائرهما في مثلث آخر، فإن المثلثين متطابقان، أي إذا كانت و و، فإن . في فقرة الإنشاء الهندسي أدناه، ترسم مثلاً مطابِقاً لمثلث مرسوم مستعملاً مسلمة ؛ ابدأ برسم مستقيم وطابق ضلعه وزاويتيه بخطوات دقيقة مستعيناً بالمنقلة والفرجار كما تراه في الخطوات الثلاث.
صفحة ١٨٠
انظر إلى المثال الأول؛ المطلوب كتابة برهان ذو عمودين لإثبات أن بناءً على المعطيات التي تفيد بأن القطعة تنصف الزاوية وأن . رتب العبارات والمبررات في جدول البرهان؛ ابدأ بالمعطيات ثم استعمل تعريف منصف الزاوية لتستنتج تطابق الزاويتين عند الرأس، ثم استخدم خاصية الانعكاس للتطابق على الضلع المشترك ، لتصل في النهاية إلى أن المثلثين متطابقان بحسب مسلمة . في أسفل الصفحة، تقابلنا نظرية التطابق بزاويتين وضلع غير محصور، ويرمز لها بـ ؛ إذا طابقت زاويتان وضلع غير محصور بينهما في مثلث نظائرهما في مثلث آخر يكون المثلثان متطابقان. تُمثّل هذه الحالة نظرية لا مسلمة لأنه يمكن إثبات صحتها باستخدام نظرية الزاوية الثالثة كما تراه في البرهان الموضح أسفل النظرية، حيث ننتقل خطوة بخطوة من تطابق زاويتين وتطابق ضلع لنجد أن المثلثين يتطابقان بحسب المستنتجة منها.
صفحة ١٨١
انظر إلى المثال الثاني؛ المطلوب كتابة برهان حر لإثبات أن بناءً على المعطيات التي تنص على أن وأن . انظر إلى الرسم؛ بما أن و وزاويتي الرأس متطابقتان بحسب تقابلهما بالرأس أو بالاستفادة من توازي القطع أو معطيات الزوايا المتقابلة، فإننا نثبت تطابق المثلثين بحسب نظرية . ننتقل بعدها إلى المثال من واقع الحياة حول بناء الجسر؛ أراد أكرم حساب المسافة بين النقطتين و فاستعمل نقطة مرجعية وعلاقات المستقيمات والتعامد. بما أن عمودية على و كما في الشكل، فإن جميع الزوايا القوائم متطابقة، وبما أن الزاويتين متقابلتان بالرأس متطابقتان، وبحسب مسلّمة ينتج أن ، ومن تناظر العناصر نجد أن طول يساوي طول وهو يبلغ .
صفحة ١٨٢
في تدريب تحقق من فهمك رقم 3، استعمل الشكل المجاور الذي يمثل عمود كهرباء وظليهما لكتابة برهان حر يبيّن أن . انظر إلى ملخص المفاهيم في وسط الصفحة؛ فهو يجمع طرق إثبات تطابق المثلثات الأربع التي تعلمتها وهي: حيث تطابق الأضلاع الثلاثة، و حيث يطابق ضلعان والزاوية المحصورة بينهما، و حيث تطابق زاويتان والضلع المحصور بينهما، وأخيراً حيث تطابق زاويتان وضلع غير محصور بينهما في المثلثين. في قسم تأكد أسفل الصفحة، تجد تمارين تطبيقية على البرهان التسلسلي والحر؛ ففي التمرين الأول مثلاً المعطيات هي أن و والمطلوب إثبات أن ؛ ابدأ باستعمال زوايا التبادل الداخلي الناتجة عن التوازي مع ضلع مشترك لتصل إلى التطابق المطلوب بالنظرية المناسبة.
صفحة ١٨٣
نتابع في صفحة تدرب وحل المسائل حل التمارين المتنوعة. في التمرين رقم 4، البرهان مبني على الشكل المجاور حيث المعطيات و والمطلوب إثبات تطابق المثلثين مستعيناً بتبادل الزوايا مع الضلع المشترك . في التمرين رقم 5، اكتب برهاناً ذا عمودين بمعطيات أن النقطة منتصف وأن لإثبات تطابق المثلثين . في التمرين رقم 7 الخاص بسباق الزوارق، أوجد طول البحيرة واستعمل المعلومات الواردة للقياس. أما في السؤالين 8 و9 الخاصين بالجبر، فأوجد قيمة المتغير أو التي تجعل المثلثين متطابقين من خلال مساواة أطوال الأضلاع المتناظرة أو قياسات الزوايا المتناظرة بعضها ببعض بناءً على علامات التطابق الظاهرة على الرسم.
صفحة ١٨٤
نستمر مع تمارين تدرب وحل المسائل. في التمرين رقم 10، اكتب برهاناً ذا عمودين بمعطيات أن وأن و لإثبات أن \Delta MRL12\text{ in}26\text{ in}\text{ASA}\text{AAA}\text{SSA}$ لإثبات تطابق المثلثين.
صفحة ١٨٥
نصل إلى صفحة تدريب على اختبار ومراجعة تراكمية. في السؤال رقم 18، انظر إلى الشكل حيث والزاوية ؛ المطلوب تحديد أي نظرية أو مسلمة يمكن استعمالها لإثبات أن من بين الخيارات أو أو أو . في السؤال رقم 19، احسب قيمة المقدار العددي المجاور المتضمن جذراً تربيعياً وجمع أعداد. في قسم المراجعة التراكمية، يطلب في السؤال رقم 20 تحديد ما إذا كان المثلث يطابق المثلث إحداثياً بعد إعطائك إحداثيات رؤوس المثلثين. وفي السؤال 21، استعمل الجبر لإيجاد قيمة عندما تكون أطوال أضلاع المثلثين متطابقة بمعادلات جبرية تحتوي على متغيرات مثل و و و و. في جدول الصواب رقم 22، أكمل القيم المطلوبة للعبارات المنطقية. وفي أسفل الصفحة، ابدأ بالاستعداد للدرس اللاحق بتصنيف كل من المثلثين الآتيين وفقاً لأضلاعه بناءً على إشارات التساوي المرسومة.
صفحة ١٨٦
هذه الصفحة تُمثّل توسعاً بعنوان «تطابق المثلثات القائمة» ضمن معمل الهندسة. في الدرسين السابقين تعلمت نظريات ومسلمات تثبت تطابق المثلثات العامة، فكيف تُطبّق هذه النظريات والمسلمات على المثلثات القائمة؟ انظر إلى أزواج المثلثات القائمة الثلاثة في أعلى الصفحة (a) و(b) و(c)، وحل الأسئلة: هل يطابق كل زوج من المثلثات؟ وإذا كان ذلك صحيحاً، فأي نظرية تطابق أو مسلمة استعملت؟ في السؤال رقم 2، أعد كتابة قواعد التطابق مستعملاً الحرف ليعلّق محل الضلع ، أو الوتر لكل زاوية قائمة، لأن كل مثلث قائم يحوي زاوية قائمة وجميع الزوايا القوائم متطابقة. في فقرة النشاط أدناه بعنوان « والمثلثات القائمة»، يطلب منك رسم مثلث قائم الزاوية بخطوات تعتمد على المسطرة والمنقلة والفرجار، حيث ترسم القطعة بطول وتنشئ عموداً وترسم قوساً بفتحة فرجار تساوي لتبين هل يؤدي النموذج إلى رسم مثلث وحيد أم لا، وتخمن حالة الخاصة بالمثلثات القائمة.
صفحة ١٨٧
انظر إلى أعلى الصفحة؛ يبيّن النشاط السابق أربع طرائق لإثبات تطابق المثلثات القائمة وهي مسلّمات ونظريات أساسية: نظرية تطابق الساقين ، ونظرية تطابق وتر وزاوية حادة ، ونظرية تطابق ساق وزاوية حادة ، وأخيراً نظرية تطابق وتر وساق حيث يُقصد بـ الساق وبـ الوتر وبـ الزاوية. انظر إلى جدول النظريات وتأمل رسومات المثلثات القائمة المرفقة مع كل نظرية لتفهم كيف تتطابق الأجزاء المشار إليها بالعلامات. في قسم التمارين أسفل الصفحة، حدد ما إذا كان كل زوج من المثلثات الآتية متطابقين أم لا، وإذا كانت الإجابة نعم، فاذكر المسلمة أو النظرية التي استعملتها، مثل التمارين من 7 إلى 9. وفي أسفل الصفحة، اكتب برهاناً لكل مما يأتي للنظرية 3.7 و3.8، واستعمل الشكل المجاور للإجابة عن السؤال رقم 13 بمعطيات التعامد وتطابق القطع المستقيمة لإثبات المطلوب.
