إثبات تطابق المثلثات SSS, SAS

يقوم هذا الدرس على فكرة بسيطة: هل نحتاج إلى قياس جميع أضلاع وزوايا المثلث لنثبت أنه يطابق مثلثاً آخر؟ الجواب لا. نسلم بمسلمتين لتسهيل ذلك. الأولى هي مسلمة التطابق بثلاثة أضلاع SSS والتي تنص على أنه إذا تلاقت أضلاع مثلث مع نظائرها في مثلث آخر، فإن المثلثين متطابقان. والثانية هي مسلمة ضلعين والزاوية بينهما SAS والتي تنص على تطابق ضلعين والزاوية المحصورة بينهما في مثلث مع نظائرها في مثلث آخر. مثال ذلك: إذا كان في المثلث الأول الأضلاع بطول 3 و 4 و 5 وفي المثلث الثاني أضلاع بنفس الأطوال، فهما متطابقان بحسب SSS.

الفكرة الأساسية

نحتاج في هذا الدرس إلى معرفة كيفية إثبات تطابق مثلثين دون الحاجة إلى قياس جميع أضلاعهما وزوايامهما الستة، بل باكتفاء بمعلومات محددة تتلخص في مسلمتين أساسيتين.

الشرح

المسلمة الأولى هي التطابق بثلاثة أضلاع ويرمز لها بالحرف SSS اختصاراً لـ side. تقول هذه المسلمة: إذا تلاقت أضلاع مثلث مع الأضلاع المناظرة لها في مثلث آخر، فإن المثلثين متطابقان. فإذا كان لدينا المثلث ABC والمثلث DEF وكان الضلع $\overline{AB} \cong \overline{DE}$ والضلع $\overline{BC} \cong \EF$ والضلع $\overline{AC} \cong \overline{DF}$ فإن المثلثين متطابقان$\triangle ABC \cong \triangle DEF$. المسلمة الثانية هي ضلعين والزاوية بينهما ويرمز لها بالحرفين SAS. تقول هذه المسلمة: إذا طابق ضلعان وзавиية محصورة بينهما في مثلث نظائرها في مثلث آخر، فإن المثلثين متطابقان. الزاوية المحصورة هي الزاوية المتكونة من ضلعين متجاورين لمضلع. فإذا كان $\overline{AB} \cong \overline{DE}$ والزاوية $\angle B \cong \angle E$ والضلع $\overline{BC} \cong \overline{EF}$ فإن المثلثين متطابقان.

مثال محلول خطوة بخطوة

أكتب برهاناً تسلسلياً لإثبات أن $\triangle GHL \cong \triangle KJL$ إذا كانت المعطيات هي: $\overline{GH} \cong \overline{KJ}$ و $\overline{HL} \cong \overline{JL}$ و أن نقطة $L$ هي منتصف $\overline{GK}$. الخطوة الأولى: نكتب المعطى الأول أن $\overline{GH} \cong \overline{KJ}$. الخطوة الثانية: نكتب المعطى الثاني أن $\overline{HL} \cong \overline{JL}$. الخطوة الثالثة: نستخدم تعريف نقطة المنتصف لأن $L$ منتصف $\overline{GK}$ إذن $\overline{GL} \cong \overline{KL}$. الخطوة الرابعة: بما أن الأضلاع الثلاثة متطابقة نظرياً، إذن المثلثان متطابقان بحسب مسلمة التطابق SSS وتصبح النتيجة $\triangle GHL \cong \triangle KJL$.

أخطاء شائعة

من الأخطاء الشائعة الظن بأن تطابق ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما كافٍ لإثبات تطابق المثلثين، وهذا غير صحيح لأن الزاوية يجب أن تقع بين الضلعين المتطابقين تماماً لكي تطبق مسلمة SAS.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: اكتب برهاناً حراً إذا كانت المعطيات في المثلث $\triangle MOP$ هي أن $\overline{LP} \cong \overline{NO}$ و $\angle LPM \cong \angle NOM$ وكان $\triangle MOP$ متطابق الأضلاع، فأثبت أن $\triangle LMP \cong \triangle NMO$. الإجابة: نستعمل معطيات تطابق الأضلاع والزواية المحصورة ونطبق مسلمة SAS لنصل إلى النتيجة المطلوبة. السؤال الثاني: أوجد قيمة المتغير $x$ الذي يجعل المثلثين متطابقين إذا كان الضلع $2x+5$ يناظره الضلع 13. الإجابة: نحل المعادلة $2x+5 = 13$ فيكون $2x = 8$ إذن $x = 4$.