المثلثات المتطابقة

يقوم درس المثلثات المتطابقة على فكرة أن تطابق شكلين هندسيين يعني تطابق جميع عناصرهما المتناظرة، أي أن أضلاعهما متطابقة وزواياهما متطابقة. يتناول الدرس تعريف المضلعات المتطابقة، وخصائص تطابق المثلثات مثل خاصية الانعكاس والتماثل والتعدي، إضافة إلى نظرية الزاوية الثالثة التي تنص على أنه إذا تلاقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر، فإن الزاوية الثالثة تطابق الزاوية الثالثة. كمثال سريع، إذا كان المثلث $\Delta ABC \cong \Delta DEF$، فهذا يعني أن ضلع $\overline{AB}$ يطابق ضلع $\overline{DE}$ وأن زاوية $\angle A$ تطابق زاوية $\angle D$.

الفكرة الأساسية

تطابق المثلثات يعني أن لهما الشكل نفسه والقياسات نفسها تماما. لكي يكون المضلعان متطابقين، يجب أن تتطابق جميع عناصرهما المتناظرة، وهي الزوايا والأضلاع. عند كتابة عبارة التطابق مثل $\Delta ABC \cong \Delta DEF$، يجب ترتيب الرؤوس المتناظرة بالترتيب الصحيح.

الشرح

انظر إلى الشكل: إذا كان لديك مثلثان متطابقان، فإن كل ضلع في المثلث الأول يطابق ضلعا يناظره في المثلث الثاني وله الطول نفسه، وكل زاوية تطابق زاوية تناظرها وله القياس نفسه. يتضمن الدرس نظرية الزاوية الثالثة التي تفسر أنه إذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر، فإن الزاوية الثالثة في المثلث الأول تطابق الزاوية الثالثة في المثلث الثاني. كما يدرس خصائص تطابق المثلثات وهي خاصية الانعكاس للتطابق مثل $\Delta ABC \cong \Delta ABC$، وخاصية التماثل للتطابق مثل إذا كان $\Delta ABC \cong \Delta EFG$ فإن $\Delta EFG \cong \Delta ABC$، وخاصية التعدي للتطابق مثل إذا كان $\Delta ABC \cong \Delta EFG$ و$\Delta EFG \cong \Delta JKL$ فإن $\Delta ABC \cong \Delta JKL$.

مثال محلول خطوة بخطوة

في الشكل المجاور إذا كان $\Delta ABC \cong \Delta DFE$، فأوجد قيمة كل من $y$ و $x$. الخطوة الأولى: بما أن العناصر المتناظرة متطابقة، إذن $\angle F \cong \angle B$. الخطوة الثانية: من تعريف التطابق $m\angle F = m\angle B$. الخطوة الثالثة: عوض بالأرقام المذكورة في الشكل، حيث $8y - 5 = 99$. الخطوة الرابعة: اجمع $5$ إلى الطرفين ليصبح $8y = 104$. الخطوة الخامسة: اقسم الطرفين على $8$ لتجد أن $y = 13$. الخطوة السادسة: من تطابق الأضلاع المتناظرة، فإن $FE \cong BC$ وبالتالي $2y + x = 38.4$. الخطوة السابعة: عوض بقيمة $y$ وهي $13$ ليصبح $2(13) + x = 38.4$. الخطوة الثامنة: بسط المعادلة ليصبح $26 + x = 38.4$. الخطوة التاسعة: اطرح $26$ من الطرفين لتجد أن $x = 12.4$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع كتابة عبارة التطابق بترتيب عشوائي للرؤوس، مثل كتابة $\Delta ABC \cong \Delta HJK$ بينما الترتيب الصحيح هو $\Delta ABC \cong \Delta JHK$؛ يجب دائما مطابقة الرؤوس المتناظرة بالترتيب الدقيق.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في الشكل المجاور إذا كان $\Delta RSV \cong \Delta TVS$، فأوجد قيمة كل من $x$ و $y$. الإجابة: بالاستفادة من تطابق العناصر المتناظرة والأضلاع والزوايا، تجد القيم المطلوبة وفق المعطيات والأرقام المرسومة على الشكل. السؤال الثاني: اكتب برهانا ذَا عمودين. المعطيات: $\overline{DE} \cong \overline{GE}$، و$\overline{DF} \cong \overline{GF}$، و$\angle D \cong \angle G$، و$\angle DFE \cong \angle GFE$. المطلوب: إثبات أن $\Delta ADEF \cong \Delta AGEF$. الإجابة: يتم إثبات تطابق الأضلاع المتبقية باستخدام خاصية الانعكاس للضلع المشترك $\overline{EF} \cong \overline{EF}$، ثم استخدام نظرية الزاوية الثالثة وتعريف المضلعات المتطابقة.