زوايا المثلثات

يقوم هذا الدرس على حقيقة هندسية أساسية وهي أن مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلية يساوي دائماً $180^\circ$. بناءً على هذه القاعدة، إذا علمت قياس زاويتين في مثلث، تستطيع فوراً معرفة قياس الزاوية الثالثة بطرح مجموعهما من $180^\circ$. يمتد الدرس ليشمل مفهوم الزاوية الخارجية للمثلث، والتي يساوى قياسها مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها. على سبيل المثال، في مثلث قياس زواياه $50^\circ$ و$60^\circ$، فإن الزاوية الثالثة تساوي $180 - (50 + 60) = 70^\circ$. كما يربط الدرس بين أنواع الزوايا في المثلثات القائمة، حيث تكون الزاويتان الحادتان متدامتان دائماً.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الدرس حول العلاقات بين زوايا المثلث، وكيف تستفيد من قياسات الزوايا المعلومة لإيجاد قياسات المجهولة منها. المبدأ الأهم هو أن مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث هو دائماً $180^\circ$، إضافة إلى فهم كيف تتكون الزاوية الخارجية وما علاقتها بالداخلية.

الشرح

انظر إلى أي مثلث وليكن $\triangle ABC$. إذا جمعت قياس زاوية $A$ مع قياس زاوية $B$ مع قياس زاوية $C$، فالناتج حتماً هو $180^\circ$ وتكتب بالرموز: $m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^\circ$

أما الزاوية الخارجية، فهي التي تنشأ من امتداد أحد أضلع المثلث مع ضلع مجاور له. قياس هذه الزاوية الخارجية يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها، أي أنك إذا مددت ضلعاً، فالزاوية الخارجية الناتجة تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين الأخريين في المثلث غير المجاورتين لها. وفي المثلث القائم الزاوية، تجد أن الزاويتين الحادتين فيه متدامتان دائماً، أي أن مجموع قياسيهما يساوي $90^\circ$.

مثال محلول خطوة بخطوة

في مثلث قياس إحدى زواياه $78^\circ$ وزاوية أخرى $20^\circ$، أوجد قياس الزاوية الثالثة المجهولة وليكن اسمها الزاوية $3$.

الخطوة الأولى: اكتب القاعدة الأساسية لمجموع قياسات زوايا المثلث: $m\angle 3 + 20^\circ + 78^\circ = 180^\circ$

الخطوة الثانية: اجمع الأرقام المعلومة في الطرف الأيسر: $m\angle 3 + 98^\circ = 180^\circ$

الخطوة الثالثة: اطرح $98$ من الطرفين لعزل المجهول: $m\angle 3 = 180^\circ - 98^\circ$ $m\angle 3 = 82^\circ$

أخطاء شائعة

• جمع قياسات زوايا المثلث على أنها تساوي $360^\circ$ خطأ شائع، والصحيح أنها $180^\circ$ فقط.
• الخلط بين الزاوية الداخلية المجاورة للزاوية الخارجية وبين الزاويتين البعيدتين عنها عند تطبيق نظرية الزاوية الخارجية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: في مثلث قياسات زواياه هي $57^\circ$ و$71^\circ$ وزاوية أخرى مرقمة بـ $1$، أوجد قياس الزاوية $1$. الإجابة: $m\angle 1 = 180 - (57 + 71) = 52^\circ$.

السؤال الثاني: إذا كانت الزاوية الخارجية لمثلث قياسها يساوي مجموع زاويتين داخليتين إحداهما $40^\circ$ والأخرى $50^\circ$، فما قياس الزاوية الخارجية؟ الإجابة: قياس الزاوية الخارجية يساوي مجموع البعيدتين، إذن $40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$.