تصنيف المثلثات

يقوم درس تصنيف المثلثات على فكرة تقسيمها بطريقتين رئيسيتين: إما وفقاً لقياسات زواياها إلى مثلث حاد الزوايا أو منفرج الزوايا أو قائم الزوايا، أو وفقاً لأطوال أضلاعها إلى مثلث متطابق الأضلاع أو متطابق الضلعين أو مختلف الأضلاع. تعتمد الطريقة الأولى على فحص الزوايا الثلاث، فإذا كانت جميعها حادة فالمثلث حاد الزوايا، وإن وجدت زاوية قائمة فهو قائم الزاوية، وإن وجدت زاوية أكبر من تسعين درجة فهو منفرج الزاوية. أما الطريقة الثانية فتعتمد على قياسات الأضلاع أو علامات التطابق مثل الشرطات الصغيرة التي تدل على تساوي أطوال الضلعين أو الأضلاع الثلاثة. فمثلاً، إذا وجدنا مثلثاً قياسات أضلاعه ثلاثة سنتيمترات وثلاثة سنتيمترات وثلاثة سنتيمترات، فهو مثلث متطابق الأضلاع. ويمكننا استخدام هذه الخصائص لتحديد الأطوال والمقاييس المجهولة عبر تكوين معادلات جبرية وحلها بناء على تساوي أضلاع المثلث المتطابق.

الفكرة الأساسية

يقوم هذا الدرس على دراسة المثلثات وتصنيفها إلى أنواع محددة بالاعتماد على خاصيتين أساسيتين هما قياسات الزوايا الداخليّة أو أطوال الأضلاع. يتيح لنا هذا التصنيف فهم خصائص الأشكال الهندسية واستثمارها في إيجاد القيم والمقاييس المجهولة داخل المسائل الرياضية.

الشرح

نصنف المثلثات وفقاً لزواياها بطريقتين: الأولى بالنظر إلى الزوايا الثلاث؛ فإذا كانت جميعها أقل من تسعين درجة، أي ثلاث زوايا حادة، فالمثلث حاد الزوايا. وإذا احتوى المثلث على زاوية واحدة قياسها يساوي تسعين درجة، فهو مثلث قائم الزاوية. وإذا احتوى على زاوية واحدة قياسها أكبر من تسعين درجة، فهو مثلث منفرج الزاوية. وتحتوي جميع المثلثات على زاويتين حادتين على الأقل، ونستعمل الزاوية الثالثة لتحديد التصنيف النهائي.

ونصنف المثلثات وفقاً لأضلاعها بحسب عدد الأضلاع المتطابقة فيها. وللدلالة على تطابق ضلعين أو أكثر في المثلث، يوضع عدد متساو من الشرطات الصغيرة على الضلعين المتطابقين. فإذا كانت الأضلاع الثلاثة متطابقة، فالمثلث متطابق الأضلاع. وإذا تساوى ضلعان على الأقل، فالمثلث متطابق الضلعين، وتذكر دائماً أن المثلث المتطابق الأضلاع يُعد حالة خاصة من المثلث المتطابق الضلعين. أما إذا لم توجد أي أضلاع متطابقة، فالمثلث مختلف الأضلاع. وعند وجود أطوال مجهولة تتضمن متغيرات مثل $x$ في مثلث متطابق الضلعين أو متطابق الأضلاع، فإننا نساوي بين طولي الضلعين المتطابقين لتكوين معادلة جبرية وحلها.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قياسات أضلاع مثلث متطابق الضلعين $ABC$ إذا كانت أطوال أضلاعه معطاة بالعبارات الآتية: $AC = 4x + 1$ و $CB = 5x - 0.5$ و $AB = 9x - 1$. الخطوة الأولى: أوجد قيمة $x$. بما أن المثلث متطابق الضلعين وفيه الضلعان $AC$ و $CB$ متطابقان، إذن نساوي بين عبارتيهما: $4x + 1 = 5x - 0.5$. نطرح $4x$ من الطرفين فيصبح لدينا $1 = x - 0.5$. ثم نجمع $0.5$ إلى الطرفين لنحصل على قيمة $x$: $1.5 = x$. الخطوة الثانية: عوض لإيجاد طول كل ضلع. نعوض بالقيمة $1.5$ مكان $x$ في عبارة الضلع $AC$: $AC = 4(1.5) + 1 = 7$. وبما أن $CB = AC$ فإن $CB = 7$. ولإيجاد طول الضلع الثالث $AB$ نعوض في عبارته: $AB = 9(1.5) - 1 = 13.5 - 1 = 12.5$. إذن أطوال أضلاع المثلث هي $7$ و $7$ و $12.5$.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن المثلث الذي يحتوي على زاوية منفرجَة يمكن أن يكون حاد الزوايا، والصحيح أن وجود زاوية منفرجة واحدة يجعله مثلثاً منفرج الزاوية فوراً.
• الخلط بين المثلث المتطابق الضلعين والمثلث مختلف الأضلاع عند إهمال ملاحظة الشرطات الصغيرة المرسومة على أضلاع المثلث والتي تدل على التساوي.
• نسيان التعويض بقيمة المتجه $x$ المستخرجة في جميع أضلاع المثلث والاكتفاء بإيجاد قيمة $x$ دون حساب الأطوال المطلوبة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: صنف المثلث الذي قياسات زواياه $90^\circ$ و $30^\circ$ و $60^\circ$ وفقاً لزواياه. الإجابة: مثلث قائم الزاوية، لأن إحدى زواياه قياسها يساوي تسعين درجة.

السؤال الثاني: إذا كان لديك مثلث متطابق الأضلاع $FGH$ وكانت أطوال أضلاعه معطاة كالتالي: $FG = 3x - 10$ و $GH = 2x + 5$ و $HF = x + 5$. فأوجد قيمة $x$ وطول كل ضلع من أضلاعه. الإجابة: بما أن المثلث متطابق الأضلاع، فإن جميع أضلاعه متساوية. نساوي بين أي ضلعين مثل $FG = GH$ فيصبح لدينا $3x - 10 = 2x + 5$. نطرح $2x$ من الطرفين ونجمع عشرة لنحصل على $x = 15$. نعوض بقيمة $x$ في أي ضلع لإيجاد الطول: $3(15) - 10 = 45 - 10 = 35$. إذن قيمة $x$ تساوي $15$ وطول كل ضلع من أضلاع المثلث يساوي $35$.