الأعمدة والمسافة (٢)

يقوم درس الأعمدة والمسافة على إيجاد أقصر بُعد بين نقطة ومستقيم، أو بين مستقيمين متوازيين. الفكرة الأساسية تعتمد على رسم قطعة مستقيمة عمودية من النقطة لتصنع زاوية قائمة مع المستقيم، فطول هذه القطعة العمودية هو البعد المطلوب. انظر إلى الشكل: لتمثيل البعد بين النقطة A والمستقيم CD، ارسم قطعة مستقيمة تبدأ من A وتتعامد مع CD عند النقطة D، فطول القطعة AD هو المسافة بينهما. وتظهر هذه الفكرة في الحياة اليومية عندما نعلق الصور على الحائط ونحرص على تساوي المسافات لضمان التوازي.

الفكرة الأساسية

يقوم هذا الدرس على تحديد أقصر مسافة هندسية ممكنة بين نقطة لا تقع على مستقيم وبين ذلك المستقيم، أو بين مستقيمين متوازيين. هذه المسافة لا تُقاس بشكل مائل، بل عبر مسار عمودي يصنع زاوية قائمة.

الشرح

البعد بين مستقيم ونقطة لا تقع عليه هو طول القطعة المستقيمة العمودية من تلك النقطة إلى المستقيم. عندما يطلب منك إنشاء هذه القطعة، عليك استخدام أدوات الهندسة لرسم خط ينطلق من النقطة ويسقط بشكل عمودي تام (بزاوية قياسها تسعون درجة) على المستقيم المعلوم. أما في حالة مستقيمين متوازيين، فالصورة تختلف قليلاً لأن المسافة ثابتة بينهما في كل نقطة؛ لذا تأخذ أي نقطة على المستقيم الأول وترسم منها عموداً يصل إلى المستقيم الثاني.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى الشكل في مثال ستة حيث توجد النقطة A ومستقيم تحته يسمى $\overline{CD}$. الخطوة الأولى: حدد موقع النقطة A في الاعلى والمستقيم $\overline{CD}$ في الأسفل. الخطوة الثانية: ارسم قطعة مستقيمة تبدأ من النقطة A وتتجه نحو الأسفل لتصنع زاوية قائمة مع المستقيم $\overline{CD}$ وتلتقي به عند نقطة جديدة نسمى D. الخطوة الثالثة: طول القطعة المستقيمة الناتجة $\overline{CD}$ من النقطة A إلى النقطة D هو البعد المطلوب بين النقطة والمستقيم.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع قياس المسافة بشكل مائل أو عشوائي من النقطة إلى أقرب طرف في المستقيم. القياس الصحيح يشترط التعامد التام، وأي ميلان في القطعة المستقيمة يفسد الإجابة لأن الخط المائل أطول من العمود القصير.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أنشئ القطعة المستقيمة التي تمثل البعد بين النقطة J والمستقيم $\overline{LK}$ في الشكل أربعين؟ الإجابة: نرسم قطعة مستقيمة عمودية من النقطة J لتنزل وتتعامد مع المستقيم $\overline{LK}$. السؤال الثاني: في الشكل أربع وستين، علق خالد صفين من الصور على حائط غرفته، وقاس مسافات متساوية أسفل كل مسمار وضع مسماراً للوحة في الصف الثاني. لماذا يدل هذا العمل على أن صفي الصور سيكونان متوازيين؟ الإجابة: لأن المسافة الرأسية العمودية الثابتة والمتساوية بين الصفين تضمن بقاءهما على استقامة واحدة ومتوازيين تماماً تماماً كما تفعل الأعمدة في المستقيمات المتوازية.