إثبات توازي مستقيمين

يقوم هذا الدرس على فكرة عكس العلاقات بين الزوايا الناتجة عن قطع مستقيم لمستقيمين؛ فبدل أن ننطلق من مستقيمين متوازيين لنستنتج تساوي الزوايا، سننطلق من تساوي الزوايا أو تكاملها لنثبت أن المستقيمين متوازيين. يعتمد الدرس على مسلمة عكس الزوايا المتناظرة، وعكس نظريات الزوايا المتبادلة داخلياً ومتبادلة خارجياً والمتحالفتان، إضافة إلى عكس نظرية القاطع العمودي. فمثلاً، إذا قطع قاطع مستقيمين ونتج عن التقاطع زاويتان متناظتان متطابقتان، فإن المستقيمين متوازيان. كما يتضمن الدرس مسلمة التوازي التي تنص على أنه إذا علم مستقيم ونقطة لا تقع عليه، فإنه يوجد مستقيم واحد فقط يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم، مع خطوات الإنشاء الهندسي لهذا المستقيم.

الفكرة الأساسية

الهدف هو إثبات أن مستقيمين متوازيين بالاستعانة بالعلاقات بين الزوايا الناتجة عن قاطع يقطعها. بدلاً من معرفة التوازي مسبقاً لاستنتاج قياسات الزوايا، نستخدم قياسات الزوايا المطابقة أو المتكاملة لنؤكد أن المستقيمين متوازيان تماماً.

الشرح

نبدأ بمسلمة 2.2 وهي عكس مسلمة الزوايا المتناظرتين: إذا قطع قاطع مستقيمين في مستوى، ونتج عن التقاطع زاويتان متناظرتان متطابقتان، فإن المستقيمين متوازيان. فإذا كانت الزاوية 1 تطابق الزاوية 5 على الشكل، فإن المستقيم a يوازي المستقيم b ونكتب $a \parallel b$.

ثم ننتقل إلى مسلمة 2.3 أو مسلمة التوازي: إذا علم مستقيم ونقطة لا تقع عليه، فانه يوجد مستقيم واحد فقط يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم.

بعد ذلك تأتي النظريات التي تعكس علاقات الزوايا:

• عكس نظرية الزوايا المتبادلة خارجياً (نظرية 2.5): إذا قطع قاطع مستقيمين في مستوى، ونتج عن التقاطع زاويتان متبadلتان خارجياً متطابقتان، فإن المستقيمين متوازيان.
• عكس نظرية الزوايا المتحالفتان (نظرية 2.6): إذا قطع قاطع مستقيمين في مستوى، ونتج عن التقاطع زاويتان متحالفتان متكاملتان (مجموع قياسهما $180^{\circ}$)، فإن المستقيمين متوازيان.
• عكس نظرية الزوايا المتبادلة داخلياً (نظرية 2.7): إذا قطع قاطع مستقيمين في مستوى، ونتج عن التقاطع زاويتان متبادلتان داخلياً متطابقتان، فإن المستقيمين متوازيان.
• عكس نظرية القاطع العمودي (نظرية 2.8): إذا قطع قاطع مستقيمين في مستوى، وكان عمودياً على كل منهما، فإن المستقيمين متوازيان.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى الشكل في مثال 1 حيث يقطع القاطع $l$ المستقيمين $m$ و $n$. المعطيات: $\angle 1 \cong \angle 6$. المطلوب: هل يمكن إثبات أن $m \parallel n$؟ الخطوة الأولى: حدد موقع الزاويتين بالنسبة للمستقيمين $m$ و $n$. الزاوية 1 والزاوية 6 متبادلتان خارجياً بالنسبة للمستقيمين. الخطوة الثانية: طبق النظرية المناسبة. بما أن الزاوية 1 تطابق الزاوية 6، وبحسب عكس نظرية الزوايا المتبادلة خارجياً، فإن المستقيمين متوازيان. النتيجة: $m \parallel n$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين مواقع الزوايا، كاعتبار زاويتين متناظرتين على أنهما متبادلتان داخلياً.
• الاعتقاد بأن أي زاويتين متساويتين في القياس تثبت التوازي، بينما الشرط الأساسي أن تكون الزاويتان في مواقع محددة (متناظرتان، متبادلتان داخلياً، أو متبادلتان خارجياً) وليست أي زاويتين متطابقتين عشوائياً.
• نسيان أن الزوايا المتحالفتان يجب أن تكون متكاملة ($180^{\circ}$) وليست متطابقتين لإثبات التوازي.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا قطع قاطع مستقيمين في مستوى ونتج زاويتان متبadلتان داخلياً متطابقتان، فماذا يمكنك أن تقول عن المستقيمين؟ الإجابة: المستقيمان متوازيان بحسب عكس نظرية الزوايا المتبادلة داخلياً.

السؤال الثاني: في الشكل، إذا كان مجموع قياس الزاوية 4 وزاوية 5 يساوي $180^{\circ}$ وهما زاويتان متحالفتان، فما العلاقة بين المستقيمين اللذين قطعهما القاطع؟ الإجابة: المستقيمان متوازيان بحسب عكس نظرية الزوايا المتحالفتان.