الزوايا والمستقيمات المتوازية

يقوم هذا الدرس على دراسة العلاقات بين الزوايا الناتجة عن تقاطع مستقيمين متوازيين بمستقيم ثالث يُسمى القاطع. الأفكار الأساسية تعتمد على مسلمة الزاويتين المتناظرتين، ونظريات الزوايا المتبادلة داخلياً ومتبادلة خارجياً، حيث تكون هذه الزوايا متطابقة ومتساوية في القياس، بينما تكون الزوايا المتحالفتين متكاملتين ومجموع قياسهما ١٨٠ درجة. تُستخدم هذه العلاقات لحساب قياسات الزوايا المجهولة وحل المعادلات الجبرية المرتبطة بها. فمثلاً، إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين وكانت إحدى الزوايا المتناظرتين قياسها ٧٠ درجة، فإن الزاوية المناظرة لها تساوي ٧٠ درجة تماماً بالتطابق.

الفكرة الأساسية

عندما يقطع مستقيم قاطع مستميْن متوازيين في المستوى، تنشأ بين الزوايا الثماني الناشئة علاقات ثابتة تحدد قياساتها، فإما أن تكون الزوايا متطابقة ومتساوية تماماً، أو تكون متكاملة ومجموع قياساتها يبلغ ١٨٠ درجة.

الشرح

انظر إلى الشكل الذي يوضح مستقيمين متوازيين يقطعهما مستقيم ثالث يُسمى القاطع. تبدأ القوانين بـ مسلمة الزاويتين المتناظرتين التي تنص على أن كل زاويتين متناظرتين تكونان متطابقتين، ويرمز للتطابق بالرمز $\cong$. من هذه المسلمة نستنتج النظريات التالية: نظرية الزاويتين المتبadلتين داخلياً والتي تؤكد أن الزوايا الواقعة بين المستقيمين المتوازيين وعلى جهتين مختلفتين من القاطع تكون متطابقة. ونظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً التي تنص على أن الزوايا الواقعة في الخارج وعلى جهتين مختلفتين من القاطع تكون متطابقة أيضاً. وأما نظرية الزاويتين المتحالفتين فتنص على أن الزاويتين الواقعتين في الجهة نفسها بين المستقيمين المتوازيين تكونان متكاملتين، أي أن مجموع قياسيهما يساوي $180^\circ$. أخيراً، تأتي نظرية القاطع العمودي لتؤكد أنه إذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين في مستوى، فإنه يكون عمودياً على المستقيم الآخر.

مثال محلول خطوة بخطوة

في الشكل المجور، إذا كان المستقيم a يوازي المستقيم b، وكان قياس زاوية $m\angle 1 = 118^\circ$، فأوجد قياس $m\angle 2$. الخطوة الأولى: نحدد موقع الزاويتين، فنلاحظ أن $\angle 1$ و$\angle 2$ تقعان داخل المستقيمين المتوازيين وعلى جهتين مختلفتين من القاطع، إذن فهما زاويتان متبادلتان داخلياً. الخطوة الثانية: نطبق نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً والتي تنص على أن $\angle 2 \cong \angle 1$. الخطوة الثالثة: نستخدم تعريف تطابق الزوايا لنحول التعبير إلى قياسات متساوية، فنكتب $m\angle 2 = m\angle 1$. الخطوة الرابعة: بالتعويض المباشر عن قيمة $\angle 1$، ينتج أن $m\angle 2 = 118^\circ$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع افتراض أن أي مستقيمين في الشكل متوازيان دون وجود أسهم تشير إلى التوازي أو نص صريح يذكر ذلك. خطأ شائع آخر يقع فيه الطلاب هو مساواة قياسات الزوايا المتحالفتين ببعضهما، والصواب هو أن مجموعهما يساوي $180^\circ$ لأنهما متكاملتان وليست متطابقتين.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين، وكانت إحدى الزوايا المتبادلة داخلياً قياسها $70^\circ$، فما قياس الزاوية المتبادلة معها داخلياً؟ الإجابة: $70^\circ$ لأن الزاويتين المتبادلتين داخلياً متطابقتان. السؤال الثاني: إذا كانت زاويتان متحالفقتان ناتجان عن تقاطع قاطع لمستقيمين متوازيين، وكان قياس إحداهما يساوي $100^\circ$، فما قياس الزاوية المتحالفة الأخرى؟ الإجابة: $80^\circ$ لأن الزاويتين المتحالفتين متكاملتان ومجموعهما $180^\circ$.