المستقيمان والقاطع

يقوم درس المستقيمان والقاطع على دراسة العلاقات الهندسية بين المستقيمات في الفضاء والمستوي، وتحديداً عندما يقطع مستقيم مستقيمين آخرين في المستوى نفسه لينتج عن ذلك ثماني زوايا ذات مسميات وأزواج خاصة. نبدأ بتصنيف المستقيمات إلى متوازية لا تقاطع أبداً وتقع في المستوى نفسه، ومتخالفة لا تقاطع ولا تقع في المستوى نفسه، ومستويات متوازية. ثم ننتقل إلى القاطع الذي يتقاطع مع مستقيمين في نقاط مختلفة، لنصنف الزوايا الناتجة إلى زوايا داخلية تقع بين المستقيمين، وزوايا خارجية تقع خارجهما، بالإضافة إلى أزواج محددة مثل الزوايا المتحالفة الواقعة في جهة واحدة، والزوايا المتبادلة داخلياً أو خارجياً في جهات مختلفة، والزوايا المتناظرة الواقعة في جهة واحدة إحداهما داخلية والأخرى خارجية. على سبيل المثال، إذا قطع قاطع مستقيمين، فإن الزاويتين اللتين تقعان بين المستقيمين وفي جهتين مختلفتين عن القاطع تُسميان زاويتين متبادلتين داخلياً.

الفكرة الأساسية

ندرس اليوم كيف تترتيب العلاقات المكانية بين المستقيمات والمستويات، وماذا يحدث عندما يعترض مستقيم يُسمى القاطع مستقيمين آخرين في المستوى نفسه، لينتج عن هذا التقاطع ثماني زوايا تكتسب أسماء دقيقة بناءً على مواقعها النسبية.

الشرح

نبدأ بتأمل حالة المستقيمات والمستويات. المستقيمان المتوازيان هما مستقيمان لا يتقاطعان أبداً ويقعان في المستوى نفسه، ونعبر عن ذلك بالرمز $\overleftrightarrow{JK} \parallel \overleftrightarrow{LM}$. أما المستقيمان المتخالفان فهما مستقيمان لا يتقاطعان ولا يقعان في المستوى نفسه. والمستويان المتوازيان فهما مستويان غير متقاطعين مثل المستوى A والمستوى B.

عندما يرسم مستقيم يُسمى القاطع ليقطع مستقيمين أو أكثر في المستوى نفسه وفي نقاط مختلفة، يتولد لدينا ثماني زوايا نوزعها ونسميها كالتالي:

• الزوايا الداخلية: تقع في المنطقة المحصور بين المستقيمين.
• الزوايا الخارجية: تقع في المنطقتين اللتين ليستا بين المستقيمين.
• الزاويتان المتحالفتان: زاويتان داخليتان تقعان في جهة واحدة من القاطع t.
• الزاويتان المتبادلتان داخلياً: زاويتان داخليتان غير متجاورتين تقعان في جهتين مختلفتين من القاطع t.
• الزاويتان المتبادلتان خارجياً: زاويتان خارجيتان غير متجاورتين تقعان في جهتين مختلفتين من القاطع t.
• الزاويتان المتناظرتان: زاويتان تقعان في جهة واحدة من القاطع t، إحداهما داخلية والأخرى خارجية وغير متجاورتين.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى الشكل الذي يوضح تقاطع سقط قطار، حيث يتقاطع قاطع مع مستقيمين لتحديد علاقات الزوايا. الخطوة الأولى: حدد الزاويتين $\angle 1$ و $\angle 3$. القاطع الذي يصل بينهما هو المستقيم h. الخطوة الثانية: بما أن الزاويتين تقعان في الجهة الخارجية وغير متجاورتين وتقعان في جهتين مختلفتين من القاطع h، إذن فهما زاويتان متبادلتان خارجياً.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع اعتبار أي مستقيمين لا تقاطع بينهما أنهما متوازيان، وتنسى شرط وقوعهما في المستوى نفسه، إذ إن المستقيمين المتخالفين أيضاً لا يتقاطعان ولكنهما لا يقعان في المستوى نفسه. ومن الأخطاء المتكررة الخلط بين الزوايا المتبادلة داخلياً والمتحالفة؛ تذكر أن المتحالفتين في جهة واحدة من القاطع، بينما المتبادلتين داخلياً في جهتين مختلفتين.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: مستعيناً بالشكل الذي يظهر فيه قاطع t يقطع مستقيمين، صنف الزوج $\angle 5$ و $\angle 7$ إلى زاويتين متبادلتين داخلياً، أو متبادلتين خارجياً، أو متناظرتين، أو متحافلتين. الإجابة: زاويتان متبادلتان خارجياً.

السؤال الثاني: في الشكل نفسه، ما هو تصنيف الزوج $\angle 2$ و $\angle 6$؟ الإجابة: زاويتان متناظرتان.