إثبات علاقات بين الزوايا (٢)
انظر إلى تدريبات دليل الدراسة والمراجعة للفصل الأول. في القسم الأول الخاص بالعبارات الشرطية، يطلب منك إيجاد العكس والمعكوس والمعاكس الإيجابي للعبارات الشرطية المعطاة، فلتذكّر أن العكس يتبادل فيه الفرض والنتيجة، والمعكوس ينفي كلاً من الفرض والنتيجة، أما المعكوس الإيجابي فيجمع بين النفي والتبادل معاً. وفي القسم الخاص بالتبرير الاستنتاجي، انظر إلى السؤالين واحد وعشرين وثثنين وعشرين، حيث يُطلب منك تحديد إن كان يمكن الوصول إلى نتيجة صائبة باستخدام قانون الفصل المنطقي أو قانون القياس المنطقي، فإذا كان لدينا عبارة شرطية أولى تحقق شرط الثانية، مثل و، فإن قانون القياس يمكننا من استنتاج مباشرة كما ترى في مثال رقم أربعة محلولاً أمامك بالتفصيل.
يقوم درس إثبات علاقات بين الزوايا على استخدام النظريات والمسلمات الهندسية لإثبات تطابق أو تكامل زوايا معينة بناء على معطيات مرسومة أو مكتوبة. يعتمد الشرح على نظريات مثل تطابق الزوايا المتقابلة بالراس ونظرية الزوايا المتكاملة على مستقيم. انظر إلى الشكل: إذا كان قياس زاوية مـا معلوماً، فيمكنك إيجاد قياس الزاوية المجاورة لها على نفس المستقيم بطرح القيمة من ١٨٠ درجة لأن مجموعهما يساوي ١٨٠ درجة حسب تعريف الزاويتين المتكاملتين. هذا يمنحك أساساً رياضياً متقناً لربط القياسات بالجبر والبرهان.
الفكرة الأساسية
تعتمد فكرة الدرس على استخدام النظريات الهندسية المرتبطة بالزوايا لبناء براهين رياضية صحيحة. انظر إلى العلاقات بين الزوايا مثل التقابل بالرأس والتكامل على مستقيم، واستخدمها للربط بين القياسات واستخراج قيم مجهولة.
الشرح
عندما تتقاطع مستقيمات، تتكون علاقات ثابتة بين الزوايا الناتجة. إذا تقابلت زاويتان بالرأس فهما متطابقتان، أي أن قياسيهما متساويان. وإذا وقعت زاويتان على مستقيم واحد وشكلتا معاً خطاً مستقيماً فهما متكاملتان، ومجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة. في البرهان الهندسي، تبدأ بالمعطيات المكتوبة في السؤال أو الظاهرة على الشكل، ثم تطبق النظريات والتعاريف خطوة بخطوة حتى تصل إلى المطلوب إثباته.
مثال محلول خطوة بخطوة
انظر إلى الشكل في المثال 8 حيث تتقاطع مستقيمات وتظهر زوايا مرقمة. إذا علمت أن قياس زاوية واحد يساوي ٧٢ درجة، وأن قياس زاوية ثلاثة يساوي ٢٦ درجة، وأردت إيجاد قياس زاوية أربعة: الخطوة الأولى: لاحظ أن زاوية واحد وزاوية اثنين متقابلتان بالرأس، إذن قياس زاوية اثنين يساوي ٧٢ درجة. الخطوة الثانية: انظر إلى زاوية اثنين وزاوية ثلاثة وزاوية أربعة؛ تجد أن زاوية ثلاثة وزاوية أربعة متجاورتان على مستقيم واحد، فهما متكاملتان. الخطوة الثالثة: اكتب المعادلة الرياضية للتكامل: قياس زاوية ثلاثة زائد قياس زاوية أربعة يساوي ١٨٠ درجة. الخطوة الرابعة: عوض بقيمة قياس زاوية ثلاثة وهي ٢٦ درجة في المعادلة ليصبح لديك: ٢٦ زائد قياس زاوية أربعة يساوي ١٨٠ درجة. الخطوة الخامسة: اطرح ٢٦ من كلا الطرفين لتجد أن قياس زاوية أربعة يساوي ١٥٤ درجة.
أخطاء شائعة
من الخطأ الشائع افتراض أن الزوايا متطابقة فقط لأن شكلها يبدو متساوياً في الرسم دون وجود معطيات أو نظريات تدعم ذلك. خطأ آخر هو الخلط بين مجموع زاويتين متكاملتين ومجموع زاويتين متتامتين؛ فتذكر دائماً أن المتكاملتين مجموعهما ١٨٠ درجة والمتتامتين مجموعهما ٩٠ درجة.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: إذا كانت زاوية ألف وزاوية باء متكاملتين، وكان قياس زاوية ألف يساوي ١١٠ درجات، فما قياس زاوية باء؟ الإجابة: ٧٠ درجة، لأننا نطرح ١١٠ من ١٨٠. السؤال الثاني: إذا كانت زاويتان متقابلتين بالرأس، وكان قياس الأولى يساوي ٦٥ درجة، فما قياس الثانية؟ الإجابة: ٦٥ درجة، لأن الزوايا المتقابلة بالرأس متطابقة.