صفحة ٦٦
انظر إلى الشكل العلوي: مقص مفتوح تشكل شفتاه ومقبضاه زوايا متجاورة على مستقيم. الآن، انتقل إلى مسلمة المنقلة رقم 1.10، وهي تربط بين قياس الزاوية وعدد حقيقي يقع بين و . ففي مثلاً، إذا انطبق صفر المنقلة على الشعاع ، فإن العدد الذي ينطبق على الشعاع يمثل قياس الزاوية تماماً. وبعدها، تأمل مسلمة جمع قياسات الزوايا رقم 1.11: إذا كانت النقطة تقع داخل كما في الرسم، فإن مجموع قياس الجزأين الصغيرين يساوي قياس الزاوية الكبيرة، أي . في المثال الأول، إذا كان و ونريد إيجاد ، فنكتب مسلّمة جمع القياسات، ثم نعوض بالأرقام المعطاة، فنطرح من الطرفين لنصل إلى الناتج . وفي تحقق من فهمك، اتبع نفس الخطوات بمعادلة جمع القياسات للوصول إلى المطلوب.
صفحة ٦٧
انظر إلى مربع المراجعة على الجانب: الزاويتان المتكاملتان مجموع قياسيهما ، والمتامتان مجموع قياسيهما ، والمتجاورتان على مستقيم لهما ضلع مشترك وغير المشتركين متعاكسان. في النظريتين 1.3 و1.4: الأولى تقول إن الزاويتين إذا كانت متجاورتين على مستقيم فهما متكاملتان، والثانية تقول إن الزاويتين إذا كان الضلعان غير المشتركين متعاكسين في زاويتين متجاورتين فإنهما تشكلان زاوية قائمة وتكونان متامتان. في مثال واقع الحياة، قام مساح بقياس زاوية بين خط نظره والخط الرأسي فكانت تقريباً، ونريد إيجاد قياس الزاوية بين خط نظره والخط الأفق. بما أن نصف المستقيم الرأسي والأفقي يكونان زاوية قائمة، فالزاويتان متامتان مجموعهما . نعوض بـ ونطرحها من في الطرفين لنحصل على . وفي سؤال تحقق من فهمك رقم 2، استعمل حقيقة أن الزاويتين متجاورتان على مستقيم ومجموعهما لتكتب المعادلة وتوجد قيمة المتغير بخطوات جبرية واضحة.
صفحة ٦٨
انظر إلى نظريات تطابق الزوايا في الأعلى: خاصية الانعكاس للتطابق تنص على أن كل زاوية تطابق نفسها، أي . وخاصية التماثل تعني أنه إذا كانت فإن . أما خاصية التعدي فتقول إنه إذا كانت وكانت فإن . في صندوق البرهان المجاور، نثبت خاصية التماثل: نبدأ بالمعطيات أن ، ومن تعريف التطابق يكون القياسان متساويين . باستعمال خاصية التماثل للمساواة نعكسها لتصبح ، ثم نعود لتعريف التطابق لنصل إلى المطلوب . أما في الأسفل، فنظرية تطابق المككملات رقم 1.6 تقول إن الزاويتين المكملتان للزاوية نفسها أو لزاويتين متطابقتين تكونان متطابقتين، ونظرية تطابق المتممات رقم 1.7 تطبق نفس الفكرة على الزوايا المتامتة.
صفحة ٦٩
تابع برهان إحدى حالات نظرية تطابق المككملات في الجدول العلوي: المعطيات أن و متكاملتان، وكذلك و متكاملتان. نبدأ بكتابة المعطيات في خطوة واحدة، ثم من تعريف الزاويتين المتكاملتين نكتب أن مجموع الأولى والثالثة يساوي ومجموع الثانية والثالثة يساوي نفس القيمة. باستعمال خاصية التعويض نساوِ الطرفين ببعضهما، ثم بخاصية الطرح للمساواة نحذف قياس الزاوية الثالثة من الطرفين لنحصل على تساوي القياسين، وأخيراً بتعريف تطابق الزوايا نثبت المطلوب أن . في المثال رقم 3، نثبت أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متطابتان: نكتب المعطيات ثم نربط الزاويتين المتجاورتين على مستقيم لنتج زوايا متكاملة، ونستعمل نظرية تطابق المككملات لنصل إلى التطابق المطلوب. في الأسفل، نظرية 1.8 تنص رسمياً على أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متطابتان دائماً.
صفحة ٧٠
انظر إلى إرشادات الدراسة على الهامش: منصف الزاوية هو نصف مستقيم يقع داخل الزاوية ويقسمها إلى قسمين متطابقين وتكون بدايته عند رأس الزاوية. في مثال رقم 4، لدينا المعطيات أن الشعاع منصف لـ ، والمطلوب إثبات أن . في جدول البرهان: الخطوة الأولى نكتب المعطاة، والثانية من تعريف منصف الزاوية نستنتج أن . الخطوة الثالثة نحدد من الشكل أن و متقابلتان بالرأس، والرابعة تطبق نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس لنقول إن . وأخيراً بخاصية التعدي للتطابق نربط النتائج لنصل إلى أن ، وبخاصية التماثل نرتبها لتصبح . في الأسفل، جدول نظريات الزاوية القائمة يضم خمس نظريات تربط بين التعامد وتقاطع المستقيمات وتكوين زوايا قائمة أو متطابقة أو متكاملة متطابقة.
صفحة ٧١
في قسم تأكد، السؤال الأول يطلب إيجاد قياس الزوايا المرقّمة مع ذكر النظريات المبررة. في الفرع الأول لديك زوايان متجاورتان على مستقيم قياساهما و، فمجموعهما يساوي ، اجمع الحدود المتشابهة وحل المعادلة لإيجاد قيمة ثم القياس. في الفرع الثاني، زاويتان متقابلتان بالرأس متطابتان، فاجعل القيمتين متساويتين وحل المعادلة. في السؤال الثالث، أكمل البرهان الناقص لكتابة برهان إحدى حالات نظرية تطابق المتممات بوضع العبارات أو المبررات المناسبة في الفراغات مثل تعريف زاويتين متامتان أو خاصية التعويض والتعدي. في السؤال الخامس، اكتب برهاناً ذَا عمودين للمعطيات التي تذكر أن والمطلوب إثبات أن مستعيناً بالتقاطع والتقابل بالرأس. في قسم التدرب، استمر في حل المسائل المشابهة بتطبيق نظريات الزوايا وتشكيل معادلات جبرية عند وجود متغيّرات.
صفحة ٧٢
تتابع هنا مسائل التدرب على إيجاد قياس الزوايا المرقّمة باستعمال النظريات المناسبة. في السؤالين 10 و11، لديك زوايا متقابلتنان بالرأس، فسوِ العبارات الجبرية ببعضها لأن قياسيهما متساويان، ثم أوجد قيمة وعوّض بها لاستخراج قياس الزاوية بدقة. في السؤال 12 و13، اكتب برهاناً ذَا عمودين لكل حالة، مستعيناً بتعريف الزوايا المتئامة أو المتكاملة أو تطابق الزوايا. في السؤال 18، اكتب برهاناً يثبت أن مجموع قياسات الزوايا الأربع الناتجة عند فتح المقص يساوي بالاعتماد على الزوايا المتجاورة على مستقيم. في السؤال 19، انظر إلى صورة أفعى المجلجلة وزركشة جلدها، واستعمل المعطيات أن لتثبت أن مستعيناً بخواص التطابق والنظريات السابقة. في الأسفل، مسائل إضافية للتدرب على كتابة البراهين مستعيناً بالأشكال الهندسية المعطاة.
صفحة ٧٣
في السؤال 26، لدينا تمثيلات متعددة لاستكشاف علاقات الزوايا: هندسياً تستعمل المنقلة لرسم زاوية قائمة وتحدد نقطة داخلها لتسميتها وترسم الأشعة المطلوبة، ثم تضع تخميناً حول العلاقة بين الزاويتين وتثبته منطقياً. في مسائل مهارات التفكير العليا، السؤال 27 يطلب التحدي في تفسير سبب وجود حالتين لنظريتي تطابق المكملات والتطابق بالمتممات وكتابة برهان لإحداهما. في السؤال 28، حدد ما إذا كانت العبارة صحيحة دائماً أو أحياناً أو غير صحيحة أبداً مع التبرير. في قسم تدريب على اختبار، السؤال 30 يعتمد على تقاطع مستقيمات ومعرفة قياسات الزوايا لتحديد قياس زاوية مجهولة مثل . في السؤال 31، إذا كانت النسبة بين قياسي زاويتين متتامتين هي فما قياس الزاوية الصغرى؟ بما أن مجموع المتتامتين ، اقسم على مجموع الأجزاء ثم اضرب الناتج في جزء الزاوية الصغرى وهو لتجد الإجابة الصحيحة من الخيارات.
صفحة ٧٤
هذه الصفحة تمثل ملخص الفصل ودليل الدراسة والمراجعة. في الجزء العلوي، تجد قائمة بجميع المفاهيم الأساسية والمفردات التي مرت معك في الفصل الأول، مرتبة ومقابلها رقم الصفحة التي شرحت فيها، مثل التبرير الاستقرائي، التخمين، العبارات الشرطية، العكس، المعكوس، المعاكس الإيجابي، البرهان الحر، والبرهان ذو العمودين. في جدول اختبار المفردات بالأسفل، يُختبر فهمك للجمل اللغوية والمنطقية والرياضية بطلب تحديد صحتها أو استبدال الكلمات الخاطئة لتصبح صحيحة، أو تذكيرك بخطوات كتابة البرهان الخمس بدءاً من كتابة المعطيات ورسم الشكل ووصولاً إلى العبارات والمبررات. استعمل هذه الصفحة لمراجعة حفظ المصطلحات وربطها بالرموز والقوانين الرياضية قبل الانتقال لاختبار الفصل.
صفحة ٧٥
في صفحة مراجعة الدروس، تجد تمرينات على الدرس الأول والثاني من الفصل. في السؤال 11، حدد ما إذا كان التخمين صحيحاً أو خاطئاً مع ذكر مثال مضاد: إذا كانت و متكاملتين فإنهما متجاورتان على مستقيم — التخمين خاطئ لأنه يمكن أن تكونان متكاملتين دون أن تتقاسما ضلعاً أو تكونا متجاورتين. في السؤال 13، بناءً على معطيات منازل البلدان القريبة من القطب الشمالي وتلك في المناطق الحارة، أجب عن سبب اختلاف أسطح المنازل. في القسم الثاني الخاص بالمنطق، استعمل عبارات الوصل وفصل العبارات و و لتحديد قيم الصواب بناءً على جداول الصواب والخطأ. في شكل أشكال فين للحيوانات الأليفة في السؤال 17، أجب عن الأسئلة المتعلقة بعدد الأشخاص الذين يمتلكون قططاً أو طيوراً أو أسماكاً فقط، بقراءة الأرقام المكتوبة داخل التقاطعات والمجموعات بدقة.
